Complemento ortogonal

En los campo matemáticos del álgebra lineal y del análisis funcional, el complemento ortogonal de un subespacio vectorial $F$ de un espacio vectorial $E$ sobre $ℝ$ dotado de un producto escalar $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ es el conjunto $F^{\mathrm{\perp }}$ de todos los vectores de $E$ que son ortogonales a todo vector de $F$. Es decir,

$F^{\mathrm{\perp }}=\{u\in E:⟨u,v⟩=0\mathrm{\forall }v\in F\}$

Proyección ortogonal

De esta última propiedad obtenemos que $\mathrm{\forall }u\in Eu=u_1+u_2$, con $u_1\in F,u_2\in F^{\mathrm{\perp }}$ de forma única, por lo que podemos definir proyección ortogonal de $u$ sobre $F$ como $u_1$ y escribiremos que ${\pi }_F(u)=u_1$. Simétricamente, podemos definir la proyección ortogonal de $u$ sobre $F^{\mathrm{\perp }}$ como $u_2$ y escribiremos ${\pi }_{F^{\mathrm{\perp }}}(u)=u_2$.

Si definimos la aplicación ${\pi }_F:E\to F,u\mapsto {\pi }_F(u)$ tenemos que: Plantilla:Demostración

Bibliografía

• Plantilla:Citation
• Plantilla:Citation
• Plantilla:Citation