Transformada de Gelfand

Plantilla:Referencias La transformada de Gelfand, llamada así en honor del matemático Israel Gelfand, es una aplicación sobre un álgebra de Banach conmutativo y unitario que da lugar a funciones continuas sobre el espectro del álgebra. Esta función es importante en análisis harmónico abstracto y la base de la Teoría de Gelfand.

Espectro de un álgebra de Banach

Dado un álgebra de Banach conmutativo y unitario $𝒜$, llamamos funcional multiplicativo en $𝒜$ a todo homomorfismo no nulo de $𝒜$ a $ℂ$. Al conjunto de todos los funcionales multiplicativos en $𝒜$ se le denomina espectro de $𝒜$ ($\sigma (𝒜)$).

Definición

Para cada $x\in 𝒜$, definimos la función $\hat{x}:\sigma (𝒜)\to ℂ$ dada por $\hat{x}(h)=h(x)$. Esta función es siempre en continua, ya que la topología en $\sigma (𝒜)$ es la topología de la convergencia puntual en $𝒜$.

A la aplicación $\mathrm{\Gamma }:𝒜\to C(\sigma (𝒜))$ que lleva $x$ a $\hat{x}$ se le denomina transformada de Gelfand en $𝒜$.

Propiedades

1. La transformada de Gelfand es un homomorfismo y $\hat{e}$ es la función constantemente $1$ (donde $e$ es el elemento unitario del álgebra).
2. Un elemento del álgebra es invertible si y solo si su imagen a través de la transformada de Gelfand es una función que nunca se anula.
3. El rango de $\mathrm{\Gamma }(x)$ coincide con el espectro de $x$.$\Vert \hat{x}{\Vert }_{sup}\le \Vert x\Vert$.