Matriz fundamental (ecuación diferencial lineal)

En matemáticas, una matriz fundamental de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de orden $n$

$\dot{𝐱}(t)=A(t)𝐱(t)$

es una función matricial $\mathrm{\Psi }(t)$ cuyas columnas son soluciones linealmente independientes del sistema. Mediante la matriz fundamental, pueden escribirse todas las soluciones del sistema como $𝐱=\mathrm{\Psi }(t)𝐜$, donde $𝐜$ es algún vector (columna) constante.

Puede demostrarse que una función matricial $\mathrm{\Psi }$ es una matriz fundamental de $\dot{𝐱}(t)=A(t)𝐱(t)$ si y sólo si $\dot{\mathrm{\Psi }}(t)=A(t)\mathrm{\Psi }(t)$ y $\mathrm{\Psi }$ es una matriz regular para todo $t$ .

Aplicaciones

• En teoría de control, la matriz fundamental se utiliza ara expresar la matriz de transición de estado, componente esencial en la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales.
• En la teoría de Floquet, el teorema de Floquet se enuncia mediante la matriz de monodromía, que es una matriz fundamental de soluciones.