Cuadrilátero completo

Cuadrilátero completo ABCDEF. Sus tres diagonales son (AC), (BD) y (EF)

Un cuadrilátero completo es una figura geométrica plana formada por cuatro rectas, de las que dos no son paralelas ni tres concurrentes.

Otra forma de definir un cuadrilátero completo es completar un cuadrilátero convexo ABCD con el punto E intersección de las rectas (AB) y (CD); y con el punto F, intersección de las rectas (AD) y (BC).

Las intersecciones de estas cuatro líneas rectas generan seis vértices. La intersección de dos rectas y la intersección de las otras dos rectas son vértices opuestos. El segmento que une dos vértices opuestos es una diagonal. Hay tres diagonales en un cuadrilátero completo.

Esta figura está estrechamente vinculada con la geometría proyectiva, y fue estudiada a partir del Plantilla:Siglo por Menelao y por Papus de Alejandría.

Propiedades

División armónica de las diagonales

Cada una de las tres diagonales (BD), (EF) y (AC) queda dividida armónicamente por las otras dos

Cada diagonal cruza a las otras dos creando divisiones armónicas. Más explícitamente, la diagonal (BD) queda cortada por las diagonales (AC) y (EF) en I y J, de modo que:

$\frac{\overline{IB}}{\overline{ID}}:\frac{\overline{JB}}{\overline{JD}}=-1.$

Asimismo si K es la intersección de las diagonales (AC) y (EF):

$\frac{\overline{JE}}{\overline{JF}}:\frac{\overline{KE}}{\overline{KF}}=-1,\frac{\overline{KA}}{\overline{KC}}:\frac{\overline{IA}}{\overline{IC}}=-1.$

Es una consecuencia proyectiva de la propiedad de las diagonales de un paralelogramo (caso en el que una de las diagonales del cuadrilátero completo es la recta del infinito en el plano proyectivo, visto como un plano afín completo), es decir, que conforman el caso límite de una cuaterna armónica.

Se da una primera demostración geométrica, que utiliza las propiedades de los haces armónicos: la propiedad característica de que cualquier secante de un haz armónico queda cortada según una cuaterna armónica, y la existencia y unicidad de la correspondiente cuaterna armónica.

Esta propiedad también se puede deducir del teorema de Menelao y del teorema de Ceva, y permite que cualquiera de estos dos teoremas se demuestre a partir del otro.

La recta de Newton

La recta de Newton (IJK)

Los puntos medios de las tres diagonales están alineados en una línea recta, llamada la línea de Newton. Plantilla:Clr

Teorema de Miquel

Ilustración del teorema de Miquel: las circunferencias circunscritas de los cuatro triángulos incluidos en el cuadrilátero completo pasan por un mismo punto (en negro)

Las circunferencias circunscritas de los triángulos (EAD), (EBC), (FAB) y (FDC) son concurrentes. Plantilla:Clr

Teorema de Urquhart

Descubierto por el matemático australiano M. L. Urquhart (1902-1966) mientras trabajaba en conceptos fundamentales de la teoría de la relatividad especial, lo apodó "el teorema más elemental de la geometría euclídea", ya que solo involucra los conceptos de línea recta y distancia.

Con las notaciones del artículo, el teorema queda expresado de la siguiente manera:

Usos notables

• El dual del cuadrilátero completo es el cuadrángulo completo.
• El cuadrilátero completo inscrito en una cónica es muy útil para demostrar ciertas propiedades de las tangentes y de las rectas polares de una sección cónica.

Véase también

• Cuadrángulo completo

Bibliografía

• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 Plantilla:ISBN
• Petite encyclopédie de mathématique, éd. Didier
• Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie
• Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, Calvage & Mounet Plantilla:ISBN

Enlaces externos

• Plantilla:Portal
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