Orden de un elemento de grupo

En el campo matemático de la teoría de grupos, se denomina orden de un elemento de grupo (o también orden de los elementos) a la mínima potencia natural a la que este debe elevarse para obtener el elemento neutro. Dicho de otra forma, el orden de un elemento $g$ de un grupo $(G,\cdot )$ es el número natural $n>0$ más pequeño para el que se verifica que $g^n=e$, donde $e$ es el elemento neutro del grupo. Si no existe tal número, se dice que $g$ tiene "orden infinito".

Expreado en fórmulas:

$\mathrm{Ord}(g)=\{\begin{array}{cc}\min \{n\in {\mathbb{N}}^{+}:g^n=e\}& \text{si }\text{ existe},\\ \mathrm{\infty }& \text{de lo contrario}.\end{array}$

Los elementos de orden finito también se denominan torsionales. El orden a veces se denomina $\mathrm{ord}(g)$ o $\mathrm{o}(g)$.

La potencia $g^n$ de un elemento del grupo $g$ se define inductivamente para exponentes naturales $n\ge 0$:

• $g^0:=e$
• $g^{k+1}:=g^k\cdot g$ para todo $k\ge 0$ natural

El número $\exp (G):=\text{Mínimo Común Multiplo }\{\mathrm{ord}(g)|g\in G\}$, cuando es finito, se llama exponente de grupo.

Propiedades

• Según el teorema de Lagrange, todos los elementos de un grupo finito tienen un orden finito, y este es un divisor del orden del grupo, es decir, del número de elementos del grupo.
• Por el contrario, según el teorema de Cauchy, en un grupo finito, por cada número primo $p$ divisor del orden del grupo, hay un elemento que tiene el orden $p$. No es posible una afirmación general para divisores compuestos (mientras que el elemento neutro $e=e^1$ pertenece al divisor trivial 1).
• El orden de un elemento es igual al orden del subgrupo generado por ese elemento.
• $g^d=e$ se aplica si y solo si $d$ es un múltiplo del orden $\mathrm{ord}(g)$ del elemento $g$.
• Para cada $g\in G$ que no sea el elemento neutro $e$, se aplica lo siguiente: $g$ tiene orden 2 si y solo si es su propio inverso.
• En un grupo abeliano, el orden del producto $g\cdot h$ es un divisor del mínimo común múltiplo de los órdenes de $g$ y $h$. Tal afirmación no es posible en grupos no abelianos; por ejemplo, el elemento $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$ del grupo SL₂(Z) tiene orden infinito, aunque es producto de los elementos $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$ de orden 4 y $\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$ de orden 6.

Bibliografía

• J. C. Jantzen, J. Schwermer: Algebra. Springer, Berlín/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-21380-5.