Función digamma

Función Digamma $\mathrm{\Psi }(s)$ en el plano complejo. El color de un punto $s$ codifica el valor de $\mathrm{\Psi }(s)$.Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono codifica el valor del argumento.

En matemáticas, la función digamma se define como la derivada logarítmica de la función gamma:

$\psi (x)=\frac{d}{dx}\ln \mathrm{\Gamma }(x)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}$

donde $\mathrm{\Gamma }$ denota la función gamma.

La función digamma es la primera de las funciones poligamma.

La función digamma también suele denotarse por ${\psi }_0(x)$, ${\psi }^{(0)}(x)$ o como $\mathrm{\Psi }(x)$.

Relación con los números armónicos

La función gamma satisface la ecuación

$\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$

derivando la expresión anterior respecto a $x$ obtenemos

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\mathrm{\Gamma }(x+1)& =\frac{d}{dx}x\mathrm{\Gamma }(x)\\ & =x{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)+\mathrm{\Gamma }(x)\\ {\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x+1)& =x{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)+\mathrm{\Gamma }(x)\end{array}$

dividiendo ambos lados de la igualdad por $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$ obtenemos

$\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x+1)}& =\frac{x{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)+\mathrm{\Gamma }(x)}{x\mathrm{\Gamma }(x)}\\ & =\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}+\frac{1}{x}\end{array}$

o

$\psi (x+1)=\psi (x)+\frac{1}{x}$

Dado que los números armónicos están definidos para $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ como

$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$

la función digamma se relaciona con ellos mediante

$\begin{array}{cc}\psi (n)& =H_{n-1}-\gamma \\ & =\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}-\gamma \end{array}$

donde $H_0=0$ y $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni.

Representación integral

Si $\mathrm{Re}(x)>0$ entonces la función digamma tiene la siguiente representación integral debida a Gauss

$\psi (x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-xt}}{1-e^{-t}})dt$

combinando esta expresión con una integral que representa la constante de Euler-Mascheroni $\gamma$ tenemos

$\psi (x+1)=-\gamma +\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{1-t^x}{1-t}\right)dt$

esta integral es el número armónico de Euler $H_x$ por lo que la fórmula anterior puede ser escrita como

$\gamma (x+1)=\gamma (1)+H_x$

Una consecuencia es la siguiente relación de recurrencia

$\gamma (w+1)-\gamma (x+1)=H_w-H_x$

Otra representación integral, debido a Dirichlet, es la siguiente

$\gamma (x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t}(e^{-t}-\frac{1}{(1+t{)}^x})dx$

Representación como un producto

La función $\psi (x)/\mathrm{\Gamma }(x)$ es una función entera y puede ser representada por el producto infinito

$\frac{\psi (x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}=e^{-2\gamma x}\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x}{x_k})e^{\frac{x}{x_k}}$

donde $x_k$ es el $k$-ésimo cero de $\psi$ y $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni.

Series

Utilizando fórmula del producto de Euler para la función gamma, junto con la ecuación funcional y una identidad para la constante de Euler-Mascheroni, obtenemos la siguiente expresión para la función digamma

$\begin{array}{cc}\psi (x+1)& =-\gamma +\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+x})\\ & =-\gamma +\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x}{n(n+x)}\end{array}$

o equivalentemente

$\begin{array}{cc}\psi (x)& =-\gamma +\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+x})\\ & =-\gamma +\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x-1}{(n+1)(n+x)}\end{array}$

La identidad anterior puede ser usada para evaluar sumas de la forma

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{p(n)}{q(n)},$

donde $p(n)$ y $q(n)$ son polinomios de grado $m$.

Empleando fracciones parciales en $u_n$ y en el caso en el que las raíces de $q(n)$ son raíces simples,

$u_n=\frac{p(n)}{q(n)}=\sum _{k=1}^m\frac{a_k}{n+b_k}$

para que la serie converja

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n{u}_n=0$

en caso contrario la serie diverge. Dado que

$\sum _{k=1}^m{a}_k=0$

y

$\begin{array}{cc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{p(n)}{q(n)}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^m\frac{a_k}{n+b_k}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^m{a}_k(\frac{1}{n+b_k}-\frac{1}{n+1})\\ & =\sum _{k=1}^m\left(a_k\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n+b_k}-\frac{1}{n+1})\right)\\ & =-\sum _{k=1}^m{a}_k(\psi (b_k)+\gamma )\\ & =-\sum _{k=1}^m{a}_k\psi (b_k)\end{array}$

Con las expansiones en series uno puede obtener

$\begin{array}{cc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{u}_n& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^m\frac{a_k}{(n+b_k{)}^{r_k}}\\ & =\sum _{k=1}^m\frac{(-1{)}^{r_k}}{(r_k-1)!}{a}_k{\psi }^{r_k-1}(b_k)\end{array}$

Serie de Taylor

La función digamma tiene una serie zeta racional, dada por la serie de Taylor en $x=1$, esta es

$\psi (x+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\zeta (k+1)(-x{)}^k$

y converge para $|x|<1$ donde $\zeta (n)$ denota la función zeta de Riemann.

Serie de Newton

La serie de Newton para la función digamma, en ocasiones llamada como serie de Stern, está dada por

$\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})$

donde $(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})$ es el coeficiente binomial. La expresión anterior puede ser generalizada a

$\psi (s+1)=-\gamma -\frac{1}{m}\sum _{k=1}^{m-1}\frac{m-k}{s+k}-\frac{1}{m}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k}[(\genfrac{}{}{0ex}{}{s+m}{k+1})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k+1})]$

donde $m=2,3,4,\dots$

Fórmula de reflexión

La función digamma satisface una fórmula de reflexión similar a la que se cumple para la función gamma,

$\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot (\pi x)$

Teorema digamma de Gauss

Para $r,m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ con $r<m$, la función digamma puede ser expresada en términos de la constante de Euler-Mascheroni y un número finito de funciones elementales

$\psi \left(\frac{r}{m}\right)=-\gamma -\ln (2m)-\frac{\pi }{2}\cot \left(\frac{r\pi }{m}\right)+2\sum _{n=1}^{\lfloor \frac{m-1}{2}\rfloor }\cos \left(\frac{2\pi nr}{m}\right)\ln \mathrm{sen}\left(\frac{\pi n}{m}\right)$

Véase también

• Función gamma
• Función trigamma
• Función poligamma

Referencias

• Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972. See section §6.4
• Plantilla:MathWorld