Función polinómica

Función polinómica.

Una función polinómica es una relación que para cada valor de la entrada proporciona un valor que se multiplique con un polinomio.

Formalización

Formalmente, a cada variable $x$ le asigna un único valor, resultante de sustituirlo en el polinomio asociado a la función:

$\begin{array}{cccc}P:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=P(x)\end{array}$

donde $P(x)$ es un polinomio definido para todo número real $x$; es decir, una suma finita de potencias de $x$ multiplicadas por coeficientes reales, de la forma:

$P(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n$

Entonces, una función polinómica se define simbólicamente:

$\begin{array}{cccc}f:& ℝ& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & y=f(x)\end{array}$

tal que:

$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$

En esta función, la variable es $x$, el mayor de los exponentes a los que está elevada esta variable indica el grado del polinomio, los coeficientes $a_0,a_1,...,a_n$ son números reales.

Las funciones polinómicas no constantes (grado mayor que 0), tienden a infinito cuando $x$ crece o decrece indefinidamente. El signo del infinito depende del coeficiente principal y del grado del polinomio. Además, si el grado es mayor que 1, la función no tiene asíntotas (si es 0 o 1, la función tiene una asíntota: $y=f(x)$).

Funciones polinómicas básicas

Algunas funciones polinómicas reciben un nombre especial según el grado del polinomio:

Grado	Nombre	Expresión	Representación
0	función constante	y = a	Rectas horizontales o paralelas al eje x
1	función lineal	y = ax + b es un binomio del primer grado	Rectas oblicuas
2	función cuadrática	y = ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado	Parábolas
3	función cúbica	y = ax³ + bx² + cx + d es un cuatrinomio de tercer grado	Curvas cúbicas