Empaquetado de círculos en un cuadrado

El empaquetado de círculos en un cuadrado es un problema de empaquetado propio de la matemática recreativa, donde el objetivo es empaquetar Plantilla:Mvar circunferencias unidad en el cuadrado más pequeño posible. De manera equivalente, el problema es organizar Plantilla:Mvar puntos en un cuadrado unitario con el objetivo de obtener la mayor separación mínima Plantilla:Mvar entre los puntos.^[1] Para hacer equivalentes estas dos formulaciones del problema, el lado del cuadrado en el que se alojan los círculos unitarios será Plantilla:Math.

Soluciones

Se han calculado soluciones (no necesariamente óptimas) para cada Plantilla:Math. A continuación se muestran las soluciones^[2] hasta Plantilla:Math.^[2] El empaquetamiento de cuadrados obvio es óptimo para 1, 4, 9, 16, 25 y 36 círculos (los seis enteros cuadrados más pequeños), pero deja de ser óptimo para cuadrados más grandes a partir de 49 en adelante.^[2]

Número de círculos (Plantilla:Mvar)	Lado del cuadrado (Plantilla:Mvar)	Plantilla:Mvar^[1]	Densidad (Plantilla:Math)
1	2	∞	0.25
2	$2 + \sqrt{2}$ ≈ 3.414...	$\sqrt{2}$ ≈ 1.414...	0.172...
3	$2 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}$ ≈ 3.931...	$\sqrt{6} - \sqrt{2}$ ≈ 1.035...	0.194...
4	4	1	0.25
5	$2 + 2 \sqrt{2}$ ≈ 4.828...	$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ≈ 0.707...	0.215...
6	$2 + \frac{12}{\sqrt{13}}$ ≈ 5.328...	$\frac{\sqrt{13}}{6}$ ≈ 0.601...	0.211...
7	$4 + \sqrt{3}$ ≈ 5.732...	$4 - 2 \sqrt{3}$ ≈ 0.536...	0.213...
8	$2 + \sqrt{2} + \sqrt{6}$ ≈ 5.863...	$\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ≈ 0.518...	0.233...
9	6	0.5	0.25
10	6.747...	0.421... Plantilla:OEIS2C	0.220...
11	$3 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2 + 4 \sqrt{2}}}{2}$ ≈ 7.022...	0.398...	0.223...
12	$2 + 15 \sqrt{\frac{2}{17}}$ ≈ 7.144...	$\frac{\sqrt{34}}{15}$ ≈ 0.389...	0.235...
13	7.463...	0.366...	0.233...
14	$6 + \sqrt{3}$ ≈ 7.732...	$\frac{8}{13} - \frac{2 \sqrt{3}}{13}$ ≈ 0.349...	0.226...
15	$4 + \sqrt{2} + \sqrt{6}$ ≈ 7.863...	$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ≈ 0.341...	0.243...
16	8	0.333...	0.25
17	8.532...	0.306...	0.234...
18	$2 + \frac{24}{\sqrt{13}}$ ≈ 8.656...	$\frac{\sqrt{13}}{12}$ ≈ 0.300...	0.240...
19	8.907...	0.290...	0.240...
20	$\frac{130}{17} + \frac{16}{17} \sqrt{2}$ ≈ 8.978...	$\frac{3}{8} - \frac{\sqrt{2}}{16}$ ≈ 0.287...	0.248...