Variedad cuasi-proyectiva

Una variedad cuasi-proyectiva en geometría algebraica es un subconjunto abierto de un conjunto proyectivo cerrado, es decir, la intersección de un subconjunto abierto y un subconjunto cerrado en la topología de Zariski dentro de algún espacio proyectivo. Se utiliza una definición similar en la teoría de esquemas, donde un esquema cuasi-proyectivo es un subesquema localmente cerrado de algún espacio proyectivo .

Mapas Regulares

Un mapa regular $f:X\to {\mathbb{P}}^m$ de una variedad cuasi-proyectiva irreducible $X\subseteq {\mathbb{P}}^n$ al espacio proyectivo ${\mathbb{P}}^m$ está dado por una (m+1)-tupla de formas $(F_0:\dots :F_m)$ del mismo grado en las coordenadas homogéneas de $x\in {\mathbb{P}}^n$. Se requiere además que para cada $x\in X$ exista una forma $(F_0:\dots :F_m)$ tal que $F_i(x)\ne 0$ para algún $i$; entonces identificamos $f(x)$ con el punto $(F_0(x):\dots :F_m(x))$.

La definición anterior provee una forma natural de definir los isomorfismos de variedades cuasi-proyectivas. Un isomorfismo de variedades cuasi-proyectivas es un mapa regular cuya inversa es otro mapa regular.

Relación con variedades afines

Una variedad afín es una variedad cuasi-proyectiva que es isomorfa a un conjunto cerrado (en la topología de Zariski) de un espacio afín. De lo anterior se sigue que toda variedad afín es cuasi-proyectiva pero no viceversa.