Tensor de Killing-Yano

En geometría de Riemann, un tensor de Killing-Yano es una generalización del concepto de vector de Killing a un tensor de dimensión superior. El concepto fue introducido en 1952 por Kentaro Yano. Se dice que un tensor antisimétrico de orden p $f_{a_1{a}_2...a_p}$ es de Killing-Yano cuando satisface la ecuación

$D_b{f}_{c{a}_2...a_p}+D_c{f}_{b{a}_2...a_p}=0$.

Esta ecuación se diferencia de la generalización habitual del concepto de vector de Killing a tensores de orden superior, llamados tensores de Killing, en que la derivada covariante D está simetrizada con un único índice del tensor y no con todos, como es el caso de los tensores de Killing.

Tensores de Killing-Yano triviales

Todo vector de Killing es un tensor de Killing de orden 1 y también es un tensor de Killing-Yano.

El tensor completamente antisimétrico (conocido como tensor de Levi-Civita) ${ϵ}_{a_1{a}_2...a_n}$ (donde n es la dimensión de la variedad) es un tensor de Killing-Yano, siendo su derivada covariante siempre cero (véase nulidad de la derivada covariante del tensor dualizador).

Construcción de tensores de Killing a partir de tensores de Killing-Yano

Hay varias formas de construir tensores de Killing (simétricos) a partir de tensores de Killing-Yano.

En primer lugar, se pueden obtener dos tensores de Killing triviales a partir de los tensores de Killing-Yano:

• A partir de un tensor de Killing-Yano de orden 1 ${\xi }_a$, se puede construir un tensor de Killing $K_{ab}$ de orden 2 según

$K_{ab}={\xi }_a{\xi }_b$.

• A partir del tensor completamente antisimétrico ${ϵ}_{a_1{a}_2...a_n}$, se puede construir el tensor de Killing trivial

$K_{ab}={ϵ}_{b{a}_2...a_n}{ϵ}^{a_2...a_{n}c}{g}_{ca}=-6g_{ab}$.

Más interesante aún, a partir de dos tensores de Killing-Yano de orden 2 $A_{ab}$ y $B_{ab}$, se puede construir el tensor de Killing de orden 2 $K_{ab}$ según

$K_{ab}=g^{cd}(A_{ac}{B}_{db}+B_{ac}{A}_{db})$.

A partir de un tensor de Killing-Yano de orden n-1, $A_{a_2...a_n}$, se puede construir el vector asociado en el sentido de Hodge (véase dual de Hodge),

$A^a={ϵ}^{a{a}_2...a_n}{A}_{a_2...a_n}$.

Debido a que el tensor $A_{a_2...a_n}$ es de Killing-Yano, el vector A no es de Killing-Yano, pero obedece a la ecuación

$D_a{A}_b=\frac{1}{n}{g}_{ab}{D}_c{A}^c$.

Esta propiedad permite construir un tensor de Killing $K_{ab}$ a partir de dos de estos vectores, definido por:

$K_{ab}=A_a{B}_b+A_b{B}_a-2A^c{B}_c{g}_{ab}$.

Cualquier combinación lineal de tensores de Killing-Yano también es un tensor de Killing-Yano.

Propiedades

Una buena parte de las propiedades del espacio-tiempo de cuatro dimensiones involucran los tensores de Killing-Yano, según demostraron H. Stephani y C. D. Collinson en la década de 1970.

• Si un espacio-tiempo admite un tensor de Killing-Yano no degenerado, entonces esto se puede escribir en la forma

$A_{ab}=X(l_a{k}_b-k_a{l}_b)+iY(m_a{\overline{m}}_b-{\overline{m}}_a{m}_b)$,

donde k, l, m y $\overline{m}$ forman una tétrada y las funciones X e Y obedecen a un cierto número de ecuaciones diferenciales. Además, el tensor de Killing-Yano obedece a la siguiente relación con el tensor de Ricci:

$R_a^c{A}_{cb}+R_b^c{A}_{ca}=0$.

• Las soluciones de las ecuaciones del campo de Einstein en el vacío y tipo D en la clasificación de Petrov admiten un tensor de Killing y un tensor de Killing-Yano, ambos de orden 2 y unidos por la fórmula dada anteriormente.
• Si un espacio-tiempo admite un tensor de Killing-Yano degenerado de orden 2 $A_{ab}$, entonces esto se escribe en la forma

$A_{ab}=k_a{p}_b-p_a{k}_b$,

k es un vector de Killing de género lumínico. El tensor de Weyl es en este caso del tipo N en la clasificación de Petrov, y k es su vector propio no trivial. Además, a tiene la relación dada anteriormente con el tensor de Riemann.

• Si un espacio-tiempo admite un tensor de Killing-Yano de orden 3, entonces o el vector asociado por la dualidad de Hodge es un vector de género lumínico constante, o el espacio es un plano conforme.

Véase también

• Vector de Killing
• Tensor de Killing

Bibliografía

• D. Kramer, Hans Stephani, Malcolm Mac Callum et E. Herlt, Exact solutions of Einstein’s field equations, Cambridge, Cambridge University Press, 1980, 428 p. (ISBN 0521230411), páginas de 349 a 352.