Tensor de densidad de flujo de impulsión

Densidad de flujo hidráulico a través de una sección de un cauce

El tensor de densidad de flujo de impulsión viene dado por:

${\mathrm{\Pi }}_{ik}=p{\delta }_{ik}+\rho v_i{v}_k$

Considérese un fluido con velocidad $\overrightarrow{v}$: la impulsión de la unidad de volumen del fluido es igual a $\rho \overrightarrow{v}$, siendo $\rho$ la densidad del fluido. La tasa de variación es por tanto:

$\frac{\partial \rho \overrightarrow{v}}{\partial t}$

En notación tensorial se tiene que:

$\frac{\partial \rho v_i}{\partial t}=\rho \frac{\partial v_i}{\partial t}+v_i\frac{\partial \rho }{\partial t}$

Empleando la ecuación de continuidad: $\frac{\partial \rho }{\partial t}=-\frac{\partial \rho v_k}{\partial x_k}$; y la ecuación de Euler: $\frac{\partial v_i}{\partial t}=-v_k\frac{\partial v_i}{\partial x_k}-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x_i}$

Gracias a estas dos ecuaciones, se deduce que:

$\frac{\partial \rho v_i}{\partial t}=-\rho v_k\frac{\partial v_i}{\partial x_k}-\frac{\partial p}{\partial x_i}-v_i\frac{\partial \rho v_k}{\partial x_k}=-\frac{\partial p}{\partial x_i}-\frac{\partial \rho v_i{v}_k}{\partial x_k}$

que a su vez puede escribirse como $\frac{\partial p}{\partial x_i}={\delta }_{ik}\frac{\partial p}{\partial x_k}$.

Por lo tanto, $\frac{\partial \rho v_i}{\partial t}=-\frac{\partial ({\delta }_{ik}p+\rho v_i{v}_k)}{\partial x_k}=-\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}_{ik}}{\partial x_k}$

Para resaltar el significado del tensor ${\mathrm{\Pi }}_{ik}$, se debe integrar la ecuación anterior en un volumen determinado:

$\frac{\partial }{\partial t}\int \rho v_{i}dV=-\int \frac{\partial {\mathrm{\Pi }}_{ik}}{\partial x_k}dV$

Según el teorema de Ostrogradsky-Gauss, se puede escribir:

$\frac{\partial }{\partial t}\int \rho v_{i}dV=-\oint {\mathrm{\Pi }}_{ik}d{S}_k$

En el primer miembro aparece la variación por unidad de tiempo de la i-ésima componente del impulso en el volumen considerado. Lo que significa que el segundo miembro representa la cantidad de este impulso que fluye por unidad de tiempo a través de la superficie que delimita el volumen considerado.

Al escribir $d{S}_k=n_{k}dS$, se puede decir que: ${\mathrm{\Pi }}_{ik}{n}_k=p{n}_i+\rho v_i{v}_k$, que corresponde a la expresión vectorial $p\overrightarrow{n}+\rho \overrightarrow{v}(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n})$. Esto permite concluir que ${\mathrm{\Pi }}_{ik}$ es la i-ésima componente de la cantidad de impulso que cruza por unidad de tiempo la unidad de área normal al eje $x_k$.