El truco de Rabinowitsch

En matemáticas, el truco de Rabinowitsch, introducido por Plantilla:Harvtxt, es una forma de demostrar el caso general del Nullstellensatz de Hilbert, a partir de un caso especial más fácil (el llamado Nullstellensatz débil), introduciendo una variable adicional.

El truco de Rabinowitsch funciona de la siguiente manera: Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado. Supóngase que el polinomio f en $K[x_1,\dots ,x_n]$ se anula siempre que todos los polinomios $f_1,\dots ,f_m$ se anulan. Entonces los polinomios $f_1,\dots ,f_m,1-x_{0}f$ no tienen ceros comunes (donde hemos introducido una nueva variable $x_0$). Por lo tanto, por el Nullstellensatz débil para $K[x_0,x_1,\dots ,x_n]$, estos polinomios generan el ideal unitario de $K[x_0,x_1,\dots ,x_n]$. Esto significa que existen polinomios $g_0,g_1,\dots ,g_m\in K[x_0,x_1,\dots ,x_n]$, tales que

$1=g_0(x_0,x_1,\dots ,x_n)(1-x_{0}f(x_1,\dots ,x_n))+\sum _{i=1}^m{g}_i(x_0,x_1,\dots ,x_n)f_i(x_1,\dots ,x_n)$

como una igualdad de elementos del anillo polinomial $K[x_0,x_1,\dots ,x_n]$ . Como $x_0,x_1,\dots ,x_n$ son variables libres, esta igualdad continúa siendo válida si se sustituye $x_0$ por $x_0=1/f(x_1,\dots ,x_n)$. Haciendo esto se obtiene

$1=\sum _{i=1}^m{g}_i(1/f(x_1,\dots ,x_n),x_1,\dots ,x_n)f_i(x_1,\dots ,x_n)$

como elementos del campo de funciones racionales $K(x_1,\dots ,x_n)$. Es decir, del campo de fracciones del anillo polinomial $K[x_1,\dots ,x_n]$. Además, las únicas expresiones que ocurren en los denominadores del lado derecho son f y potencias de f. Por lo tanto, tomando común denominador en el lado derecho, da como resultado una igualdad de la forma

$1=\frac{\sum _{i=1}^m{h}_i(x_1,\dots ,x_n)f_i(x_1,\dots ,x_n)}{f(x_1,\dots ,x_n{)}^r}$

para algún número natural r y polinomios $h_1,\dots ,h_m\in K[x_1,\dots ,x_n]$ . Por lo tanto

$f(x_1,\dots ,x_n{)}^r=\sum _{i=1}^m{h}_i(x_1,\dots ,x_n)f_i(x_1,\dots ,x_n),$

Esto quiere decir que $f^r$ pertenece al ideal generado por $f_1,\dots ,f_m$_. Es decir: $f$ pertenece al radical del ideal generado por $f_1,\dots ,f_m$_. Esta es la versión completa del Nullstellensatz para $K[x_1,\dots ,x_n]$.

Referencias

• Plantilla:Springer
• Plantilla:Obra citada