Regla del producto (cálculo)

Intuición geométrica de la derivada del producto.

En cálculo, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto es una fórmula usada para hallar la derivada del producto de dos o más funciones

$(f\cdot g{)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }$

o usando la notación de Leibniz:

$\frac{d}{dx}(u\cdot v)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$

La regla puede ser extendida o generalizada a situaciones en las que por ejemplo, se incluye el producto de más de dos funciones.

Demostración

Se puede demostrar la regla usando las características del límite y la definición de la derivada como el límite del cociente de la diferencia.

Sea

$f(x)=g(x)h(x)$

con $g$ y $h$ continuas y diferenciables en la variable $x$ entonces

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{(g\cdot h)(x+\mathrm{\Delta }x)-(g\cdot h)(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)h(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)h(x)}{\mathrm{\Delta }x}\end{array}$

Como

$g(x+\mathrm{\Delta }x)h(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)h(x)=g(x+\mathrm{\Delta }x)h(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)h(x)+g(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)h(x+\mathrm{\Delta }x),$

se tiene

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)h(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)h(x)+g(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)h(x+\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{g(x)(h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x))+h(x+\mathrm{\Delta }x)(g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x))}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }[g(x)\left(\frac{(h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x))}{\mathrm{\Delta }x}\right)+h(x+\mathrm{\Delta }x)\left(\frac{(g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x))}{\mathrm{\Delta }x}\right)]\end{array}$

Distribuyendo ahora el límite entre la suma y los productos (ver propiedades), obtenemos que

$f^{\prime }(x)=[\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }g(x)]\left[\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{(h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x))}{\mathrm{\Delta }x}\right]+[\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }h(x+\mathrm{\Delta }x)]\left[\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{(g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x))}{\mathrm{\Delta }x}\right]$

Como $h$ es continua en $x$ se tiene

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }h(x+\mathrm{\Delta }x)=h(x)$

y por la definición de la derivada, y la diferenciabilidad de $h$ y $g$ en $x$ se tiene también que

$h^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{h(x+\mathrm{\Delta }x)-h(x)}{\mathrm{\Delta }x}\text{y}{g}^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

Por lo tanto

$f^{\prime }(x)=g(x)h^{\prime }(x)+h(x)g^{\prime }(x)$

Ejemplo

Suponiendo que se quiere derivar:

$f(x)=x^2\sin (x)$

Usando la regla del producto, se obtiene la derivada:

$f^{\prime }(x)=2x\sin (x)+x^2\cos (x)$

Generalizaciones

Producto de dos o más factores

La regla del producto puede ser generalizada a productos de más de dos factores, por ejemplo, para tres factores tenemos

$\frac{d(uvw)}{dx}=\frac{du}{dx}vw+u\frac{dv}{dx}w+uv\frac{dw}{dx}$

Para una colección de funciones $f_1,\dots ,f_k$ tenemos

$\frac{d}{dx}\prod _{i=1}^k{f}_i(x)=\sum _{i=1}^k(\prod _{j=1,j\ne i}^k{f}_j(x)\frac{d}{dx}{f}_i(x))=\prod _{i=1}^k{f}_i(x)\sum _{i=1}^k\frac{f{\text{'}}_i(x)}{f_i(x)}$

La derivada logarítmica ayuda a demostrar la expresión anterior sin necesidad de recurrir a alguna recursión.

Derivadas de orden superior

También puede generalizarse a la regla general de Leibniz para la $n$-ésima derivada del producto de dos factores.

Sean $f$ y $g$ funciones $n$ veces diferenciables. La $n$-ésima derivada del producto $f\cdot g$ viene dada por:

$(f\cdot g{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}{g}^{(n-k)}$

donde $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ es el coeficiente binomial, y se sigue el convenio $f^{(0)}=f$.

Esta fórmula puede ser demostrada a través de la regla del producto e inducción.

Más aún, la $n$-ésima derivada de un número arbitrario de factores

${\left(\prod _{i=1}^k{f}_i\right)}^{(n)}=\sum _{j_1+j_2+\cdots +j_k=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j_1,j_2,\dots ,j_k})\prod _{i=1}^k{f}_i^{(j_i)}$

Espacio de Banach

Supóngase que $X$, $Y$ y $Z$ son espacios de Banach y $B:X\times Y\to Z$ es un operador bi lineal continuo, entonces $B$ es diferenciable y su derivada en el punto $(x,y)$ en $X\times Y$ es el mapeo lineal $D_{(x,y)}B:X\times Y\to Z$ dado por

$\left(D_{(x,y)}B\right)(u,v)=B(u,y)+B(x,v)\mathrm{\forall }(u,v)\in X\times Y$

En cálculo vectorial

La regla del producto se extiende al producto escalar y producto vectorial de funciones vectoriales como

Para producto escalar: $(𝐟\cdot 𝐠{)}^{\prime }={𝐟}^{\prime }\cdot 𝐠+𝐟\cdot {𝐠}^{\prime }$

Para producto vectorial: $(𝐟\times 𝐠{)}^{\prime }={𝐟}^{\prime }\times 𝐠+𝐟\times {𝐠}^{\prime }$

Véase también

• Derivada
• Regla del cociente

Referencias

• Plantilla:MathWorld