Progresión geométrica

Una progresión geométrica es una sucesión de números reales llamados términos, en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante denominada «razón» o «factor» de la progresión. Si se denota por $a_n$ al término que ocupa la posición $n$ de la sucesión, se puede obtener el valor de cualquier término a partir del primero ($a_1$) y de la razón ($r$) mediante la siguiente fórmula llamada término general:

$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$

Ejemplos de progresiones geométricas

• La progresión 5, 15, 45, 135, 405,...' es una progresión geométrica con razón $r=3$
• Las progresiones 1, 2, 4, 8, 16,... y 5, 10, 20, 40,... son geométricas con razón $r=2$.
• La progresión -3, 6, -12, 24, ... tiene razón $/r=-2$. Esta progresión es también una sucesión alternada.
• Otros ejemplos son: la paradoja de Aquiles y la tortuga, el problema del trigo y del tablero de ajedrez y la cantidad de movimientos de los anillos en la torres de Hanói.

Definición recursiva

Se llama progresión geométrica una sucesión numérica ($b_n$) definida por las condiciones

$b_n=\{\begin{array}{cccc}si& n=1& ⟶& p\\ si& n>1& ⟶& b_{n-1}\cdot q\end{array}$

llamada ecuación recursiva de orden 1 ( $q\ne 0$), $n=1,2,...$ ($q$ es la razón de la progresión geométrica)

Monotonía

Una progresión geométrica es monótona creciente cuando cada término es mayor o igual que el anterior ($a_n\ge a_{n-1}$), monótona decreciente cuando cada término es menor o igual que el anterior ($a_n\le a_{n-1}$), constante cuando todos los términos son iguales ($a_n=a_{n-1}$) y alternada cuando cada término tiene signo distinto que el anterior (ocurre cuando $r<0$).

Monotonía en función del primer término, $a_1$, y de la razón, $r$:

$a_1>0$	$r>1$	creciente
	$0<r<1$	decreciente
$a_1<0$	$r>1$	decreciente
	$0<r<1$	creciente
	$r=1$	constante
	$r<0$	alternada

Suma de términos de una progresión geométrica

Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica

Se denota por $S_n$ a la suma de los $n$ primeros términos consecutivos de una progresión geométrica:

$S_n=a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n$

Se puede calcular esta suma a partir del primer término $a_1$ y de la razón $r$ mediante la fórmula

Serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... converge a 2.

Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los términos consecutivos comprendidos entre dos elementos arbitrarios $a_m$y $a_n$(ambos incluidos):

$\sum _{k=m}^n{a}_k=\frac{r\cdot a_n-a_m}{r-1}=a_1\cdot \frac{(r^n-r^{m-1})}{r-1}=a_m\cdot \frac{(r^{n-m+1}-1)}{r-1}$

Suma de infinitos términos de una progresión geométrica

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad $|r|<1$, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si $|r|<1$, $r^{\mathrm{\infty }}$ tiende hacia 0, de modo que simplemente se los puede simplificar y la razón que da como único término :

$S_{\mathrm{\infty }}=a_1\frac{r^{\mathrm{\infty }}-1}{r-1}=a_1\cdot \frac{0-1}{r-1}$

Finalmente, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad es:

$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{a_1}{1-r}$, $|r|<1$

Caso notable

Un ejemplo de progresión geométrica aparece en el caso de una de las paradojas de Zenón: el reto de Aquiles y de la tortuga.

Producto de los términos de los n primeros

El producto de los $n$ primeros términos de una progresión geométrica se puede obtener mediante la fórmula

$\prod _{i=1}^n{a}_i={\left(\sqrt{a_1\cdot a_n}\right)}^n$ (si $a_1,r>0$).

Dado que los logaritmos de los términos de una progresión geométrica de razón $r$ (si $a_1,r>0$), están en progresión aritmética de diferencia $\log r$, se tiene:

$\log (\prod _{i=1}^n{a}_i)=\sum _{i=1}^n\log a_i=\frac{(\log a_1+\log a_n)n}{2}=\log {\left(\sqrt{a_1\cdot a_n}\right)}^n$ .

y tomando antilogaritmos se obtiene la fórmula.

Véase también

• Progresión aritmética
• Serie geométrica

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
• Sum of Geometric Progression Calculator