Homomorfismo evaluación

Sean dos anillos $(R,+,\cdot )$ y $(S,+,\cdot )$ de forma que $R$ es subanillo de $S$. Sea $\alpha \in L$.

Construimos la aplicación $\beta :R[x]⟶S$ que a cada polinomio $p(x)\in R[x]$ le hace corresponder su evaluación en $\alpha$, i.e., $\beta (p)=p(\alpha )$. Esta aplicación es un isomorfismo de anillos (que se denomina homomorfismo evaluación):

• $\beta (p+q)=(p+q)(\alpha )=p(\alpha )+q(\alpha )=\beta (p)+\beta (q)$;
• $\beta (p\cdot q)=(p\cdot q)(\alpha )=p(\alpha )\cdot q(\alpha )=\beta (p)\cdot \beta (q)$;

cualesquiera que sean $p,q\in R[x]$.

Además, si R y S fuesen anillos y unitarios entonces:

• $\beta (1)=1$,

con lo que $\beta$ sería un homomorfismo de anillos unitarios.