Función circular

En topología y en particular en el cálculo y aritmética cual significado sirve por referir tal, una función circular matemática de dos sentidos en una variedad diferenciable $M$, es una función escalar $M\to ℝ$ cuyos puntos críticos son un enlace, es decir, una unión disjunta de componentes conexos, cada uno siendo homeomorfos al círculo $S^1$.

Por ejemplo, sea $M$ el toro. Sea $K=]0,2\pi [\times ]0,2\pi [$ entonces el mapeo $X:K\to {ℝ}^3$ dado por

$X(\theta ,\varphi )=((2+\cos \theta )\cos \varphi ,(2+\cos \theta )\sin \varphi ,\sin \theta )$

es una parametrización para casi todo el toro. Mediante la proyección ${\pi }_3:{ℝ}^3\to ℝ$ obtenemos $G={\pi }_3{|}_M:M\to ℝ$ cuyos puntos críticos están determinados por

$\mathrm{\nabla }G(\theta ,\varphi )=(\frac{\partial G}{\partial \theta },\frac{\partial G}{\partial \varphi })(\theta ,\varphi )=(0,0)$

si y solo si $\theta =\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$

El círculo negro es uno de estos conjuntos críticos.

Estos dos valores para $\theta$ dan los conjuntos críticos

$X(\pi /2,\varphi )=(2\cos \varphi ,2\sin \varphi ,1)$

$X(3\pi /2,\varphi )=(2\cos \varphi ,2\sin \varphi ,-1)$

que representan dos círculos extremos para el toro.

Observe que el Hessiano para esta función es

$\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}(G)=\left[\begin{array}{cc}-\sin \theta & 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

el cual se revela a sí mismo de $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}(G)=1$ en los círculos de arriba, determinando que los puntos críticos sean degenerados, esto es, mostrando que los puntos críticos no están aislados.

Referencias

• Siersma and Khimshiasvili, On minimal round functions, [1] Preprint 1118, Department of Mathematics, Utrecht University, 1999, pp. 18.