Relaciones de Kramers-Kronig

En matemáticas y en física, las relaciones de Kramers-Kronig describen la relación que existe entre la parte real y la parte imaginaria de ciertas funciones complejas. La condición para que se apliquen a una función $f(\omega )$ es que esta debe representar la transformada de Fourier de un proceso físico lineal y causal. Si escribimos

$f(\omega )=f_1(\omega )+i{f}_2(\omega )$,

con $f_1$ y $f_2$ dos funciones reales, entonces las relaciones de Kramers-Kronig son

$f_1(\omega )=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{\Omega }{f}_2(\mathrm{\Omega })}{{\omega }^2-{\mathrm{\Omega }}^2}d\mathrm{\Omega }$

$f_2(\omega )=-\frac{2\omega }{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f_1(\mathrm{\Omega })}{{\omega }^2-{\mathrm{\Omega }}^2}d\mathrm{\Omega }$.

Las relaciones de Kramers-Kronig están relacionadas con la transformada de Hilbert, y son frecuentemente aplicadas a la permitividad $ϵ(\omega )$ de los materiales. Sin embargo, en este caso, hay que tener en cuenta que:

$f(\omega )=\chi (\omega )=ϵ(\omega )/{ϵ}_0-1$,

con $\chi (\omega )$ la susceptibilidad eléctrica del material. La susceptibilidad puede interpretarse como la transformada de Fourier de la respuesta temporal del material a una excitación infinitamente breve, es decir, su respuesta al impulso.

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