Curvatura de Gauss

Tres superficies con curvatura gaussiana negativa (izquierda), cero (centro) y positiva (derecha).

La curvatura gaussiana de una superficie es un número real $K$(P₀) que mide la curvatura intrínseca en cada punto regular P₀ de una superficie. Esta curvatura puede calcularse a partir de los determinantes de la primera y segunda formas fundamentales de la superficie: Plantilla:Ecuación Esta curvatura gaussiana en general varía de un punto a otro de la superficie y está relacionada con las curvaturas principales de cada punto (k₁ y k₂), mediante la relación K = k₁k₂.

Un caso interesante de superficie es la esfera, que tiene la misma curvatura en todos sus puntos. Calculando la curvatura de Gauss de una esfera (2-esfera). A partir de la fórmula anterior se llega fácilmente a que para una esfera de radio r, la curvatura gaussiana es igual en todos los puntos e igual a $K(S^2)=1/r^2>0$.

La curvatura gaussiana también puede ser negativa, como en el caso de un hiperboloide o el interior de un toro.

Si bien observamos que hay superficies que tienen curvatura constante, la curvatura gaussiana debe verse como una relación $K:S\to K(S)$ donde $K(S)\in C^1(S,ℝ)$ (una función diferenciable sobre S) que asigna a cada superficie su función de curvatura gaussiana.
La manera actual de definir la curvatura gaussiana es mediante el operador de forma (del inglés shape operator) de la superficie S:

$N:S\to S^2$, definido mediante $N(p)=\frac{{\partial }_u\times {\partial }_v}{\Vert {\partial }_u\times {\partial }_v\Vert }{|}_p$

Donde ${\partial }_u,{\partial }_v$ son los vectores tangentes coordenados y están siendo evaluados en la posición p.

Con la derivada (jacobiano) del operador de forma Plantilla:Ecuación uno obtiene una transformación lineal auto-adjunta -llamada transformación de Weingarten- y así, la curvatura gaussiana es determinante de L, i.e. Plantilla:Ecuación Es relativamente fácil verificar que coincide con la definición dada arriba.

En términos de los componentes del tensor de curvatura de Riemann para las 2-variedad diferenciables, uno encuentra la relación Plantilla:Ecuación Ejemplo, la curvatura gaussiana de un toro es $\frac{\cos v}{2+\cos v}$ donde se ha usado la parametrización: Plantilla:Ecuación

Véase también

• Energía de Willmore