Función de Dirichlet

En matemática, la función de Dirichlet, llamada así en honor al matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet, es una función matemática especial, que tiene la peculiaridad de no ser continua en ningún punto de su dominio.

Definición

Plantilla:Definición Usualmente se toman los valores $c=1$ y $d=0$.

Propiedades

• La función de Dirichlet es discontinua en todo punto de su dominio.

• Analíticamente, la función de Dirichlet se puede representar como el límite doble de una sucesión de funciones: $D(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\cos (k!\pi x{)}^{2j})\right)$.
• La función de Dirichlet es periódica, ya que $D(x+q)=D(x)\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{\forall }q\in \mathbb{Q}$. Esta función, por tanto, es un ejemplo de una función periódica no constante cuyo conjunto de periodos es denso en $ℝ$ (los racionales).

Véase también

• Función de Thomae, una variación de la función de Dirichlet que es continua en los irracionales y discontinua en los racionales.

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
• The Modified Dirichlet Function por George Beck, The Wolfram Demonstrations Project.