Función elíptica de Jacobi
Las funciones elípticas de Jacobi son funciones definidas a partir de la integral elíptica de primera especie y aparecen en diversos contextos, deben su nombre al matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi (1829).
En física aparecen por ejemplo las oscilaciones de un péndulo con grandes amplitudes sometido a la gravedad, o el movimiento de una peonza asimétrica.
Definición
Considérese la integral elíptica incompleta de primera especie definida como:
La inversa de esta función es la primera de las tres funciones elípticas de Jacobi:
Las otras dos funciones elípticas de Jacobi se definen a partir de esta por las relaciones siguientes: Plantilla:Ecuación
Propiedades
En primer lugar las funciones elípticas satisfacen un conjunto de identidades análogo al que satisfacen las funciones trigonométricas: Plantilla:Ecuación En cuanto a los valores particulares se tiene que para u = 0 las funciones valen: Plantilla:Ecuación Las funciones elípticas pueden considerarse una generalización de las funciones trigonométricas; de hecho cuando k tiende a cero las funciones elípticas de Jacobi se reducen a las funciones trigonométricas convencionales: Plantilla:Ecuación Las respectivas series de Taylor vienen dadas por: Plantilla:Ecuación
Doble periodicidad
Una propiedad interesante de las funciones elípticas de Jacobi es que son doblemente periódicas. Tienen un periodo real y otro período complejo: Plantilla:Ecuación Donde los valores que definen los períodos viene dados por: Plantilla:Ecuación donde q es el nomo de las funciones que se relaciona con el módulo de las funciones elípticas mediante la relación: Plantilla:Ecuación
Relaciones entre las funciones elípticas
Algunas relaciones útiles para el "ángulo doble" son: Plantilla:Ecuación Algunas relaciones que involucran a las funciones elípticas secundarias son: Plantilla:Ecuación
Fórmulas de adición
Análogamente a las fórmulas de adición de ángulos para las fórmulas trigonométricas, para las funciones elípticas de Jacobi pueden establecerse las siguientes relaciones:
Plantilla:Ecuación Plantilla:Ecuación Plantilla:Ecuación
Funciones elípticas de Jacobi secundarias
A partir de los cocientes de las funciones de Jacobi anteriormente definidas es común definir otras funciones derivadas. En primer lugar se definen las funciones recíprocas:
En segundo lugar los cocientes: Plantilla:Ecuación
Junto con sus respectivas funciones recíprocas:
Existen así un total de 12 funciones elípticas de Jacobi.
Referencias
Bibliografía
- Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988, pp. 185-89 ISBN 84-7615-197-7.