Derivación de funciones trigonométricas

Función	Derivada
$\mathrm{sen}(x)$	$\cos (x)$
$\cos (x)$	$-\mathrm{sen}(x)$
$\tan (x)$	${\sec }^2(x)$
$\cot (x)$	$-{\csc }^2(x)$
$\sec (x)$	$\sec (x)\tan (x)$
$\csc (x)$	$-\csc (x)\cot (x)$
$\mathrm{arcsen}(x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos (x)$	$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan (x)$	$\frac{1}{x^2+1}$

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sen(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.

$f^{\prime }(x)=\cos (x)$

Derivada de la función coseno

Dada la función $f(x)=\cos (x)=\mathrm{sen}(x+\frac{\pi }{2})$ es inmediato que:

$f^{\prime }(x)=-\mathrm{sen}(x)$

Derivada de la función tangente

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, $f(x)$,

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

y $h(x)\ne 0$, entonces la regla dice que la derivada de $g(x)/h(x)$ es igual a:

$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{[h(x){]}^2}$

A partir de la identidad trigonométrica

$\tan (x)=\frac{\mathrm{sen}(x)}{\cos (x)}$

haciendo:

$g(x)=\mathrm{sen}(x)$

$g^{\prime }(x)=\cos (x)$

$h(x)=\cos (x)$

$h^{\prime }(x)=-\mathrm{sen}(x)$

sustituyendo resulta

$f^{\prime }(x)=\frac{\cos (x)\cos (x)-\mathrm{sen}(x)[-\mathrm{sen}(x)]}{{\cos }^2(x)}$

operando

$f^{\prime }(x)=\frac{{\cos }^2(x)+{\mathrm{sen}}^2(x)}{{\cos }^2(x)}$

y aplicando las identidades trigonométricas

${\cos }^2(x)+{\mathrm{sen}}^2(x)=1$

${\sec }^2(x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}$

resulta:

$f^{\prime }(x)={\sec }^2(x)$

Derivada de la función arcoseno

Tenemos una función $y=\mathrm{arcsen}x$, que también se puede expresar como $\mathrm{sen}y=x$. Derivando implícitamente la segunda expresión:

$\cos y\cdot \frac{dy}{dx}=1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}$

Tenemos además que $\cos y=\sqrt{1-{\mathrm{sen}}^{2}y}$, y que $x=\mathrm{sen}y$. Sustituyendo, tenemos la fórmula final:

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsen}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Ejemplo #1

$y=\csc (x)\cot (x)$

$y^{\prime }=-\csc (x){\csc }^2(x)-\cot (x)\csc (x)\cot (x)$

$y^{\prime }=-\csc (x){\csc }^2(x)-{\cot }^2(x)\csc (x)$

$y^{\prime }=-{\csc }^3(x)-{\cot }^2(x)\csc (x)$

Ejemplo #2

$y=3\mathrm{sen}(x)-2\cos (x)$

$y^{\prime }=3\frac{d\mathrm{sen}x}{dx}-2\frac{d\cos x}{dx}$

$y^{\prime }=3\cos (x)+2\mathrm{sen}(x)$

Enlaces

• Ejercicios resueltos de derivada de funciones trigonometricas en wikimatematica