Demostración de la irracionalidad de e

En matemáticas, la identidad como serie del número e

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$

El número e está relacionado con el área bajo la curva de la ecuación y=1/x. Cuando los valores de x están comprendidos entre 1 y e, este área vale 1.

puede ser usado para probar que e es un número irracional. De las tantas representaciones posibles de e, esta es la serie de Taylor para la función exponencial e^y evaluada en y=1.

Demostración

Esta es una prueba por contradicción. Inicialmente se supone que e es un número racional de la forma a/b.
$e=\frac{a}{b}$

Se define el número

$x=b!(e-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!}).$

Notar que x es un entero, se sustituye e = a/b en esta definición para obtener

$x=b!(\frac{a}{b}-\sum _{n=0}^b\frac{1}{n!})=a(b-1)!-\sum _{n=0}^b\frac{b!}{n!}.$

El primer término es un entero, y cada fracción en la suma es un entero ya que n≤b para cada término. Por lo tanto, x es un entero.

Ahora probaremos que 0 < x < 1. Primero, insertamos la serie que representa al número e esto es $e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$, en la definición de x para obtener

$x=\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b!}{n!}>0.$

Para todos los términos con n ≥ b + 1 tenemos el estimado superior

$\frac{b!}{n!}=\frac{1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(n-b))}\le \frac{1}{(b+1{)}^{n-b}},$

el cual es estricto aun para cada n ≥ b + 2. Cambiando el índice de la sumatoria a k = n – b y usando la fórmula para la serie geométrica infinita, obtenemos

$x=\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b!}{n!}<\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(b+1{)}^k}=\frac{1}{b+1}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{b+1}}\right)=\frac{1}{b}<1.$

Como no hay un entero entre 0 y 1, hemos llegado a una contradicción, y por lo tanto, e debe ser irracional.

Véase también

• Número e
• Función exponencial
• Número trascendente