Equicontinuidad

Sean $(X,𝒯)$ un espacio topológico, $(Y,d)$ un espacio métrico, y $x_0$ un punto en $X$. Un conjunto $H$ de funciones de $X$ en $Y$ se dice equicontinuo en $x_0$ si y solamente si para todo $r>0,\mathrm{\exists }A$ entorno de $x_0$ tal que $\mathrm{\forall }f\in H,f(A)\subseteq B(f(x_0),r)$

Debe tenerse en cuenta que, en particular, si $H$ es equicontinuo en $x_0$, entonces todas las funciones que pertenecen a $H$ son continuas en $x_0$.

Se dice que $H$ es equicontinua si lo es para todo $x_0\in X$.

Ejemplos

1. Si $H$ es una familia finita de funciones continuas, entonces es equicontinua
2. Si $(X,𝒯)$ es métrico y todas las funciones de $H$ son Lipschitz continuas con una misma constante $K$, entonces $H$ es equicontinua
3. Si $X,Y\subseteq ℝ$, todas las funciones de $H$ son derivables, y existe una constante $K>0$ tal que $\mathrm{\forall }f\in H,\mathrm{\forall }x\in X,|f^{\prime }(x)|<K$, entonces se cumple que todas las funciones de $H$ son Lipschitz continuas de constante $K$, y por ende, $H$ es equicontinuo.

Esta última propiedad es una de las más usadas para verificar equicontinuidad de una familia de funciones.