Teorema de Mordell-Weil

El teorema de Mordell afirma que si $E:=y^2=f(x)$ es una curva elíptica racional no singular, esto es que $f$ y $df$ no tengan raíces comunes, entonces el grupo de los puntos racionales $E(\mathbb{Q})$ es un grupo abeliano finitamente generado.

Es decir, este grupo va a ser isomorfo al producto $r$ veces de $\mathbb{Z}$ (a $r$ se le conoce por el rango de la curva) multiplicados a su vez por una cierta cantidad de grupos finitos i.e. $E(\mathbb{Q})\cong \stackrel{rveces}{\overbrace{\mathbb{Z}\oplus ...\oplus \mathbb{Z}}}\oplus \frac{\mathbb{Z}}{p_1^{{\lambda }_1}\mathbb{Z}}\oplus ...\oplus \frac{\mathbb{Z}}{p_s^{{\lambda }_s}\mathbb{Z}}$

Si la curva es singular, entonces este teorema no es aplicable, pero además es que es falso, pues entonces el grupo $E(\mathbb{Q})$ va a ser isomorfo a $\mathbb{Q}$ con la suma o ${\mathbb{Q}}^{*}$ con la multiplicación, que no son finitamente generados.