Constantes de Stieltjes

En matemáticas, las constantes de Stieltjes $γ_{k}$ son los coeficientes de la expansión en serie de Laurent de la función zeta de Riemann:

ζ (s) = \frac{1}{s - 1} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n!} γ_{n} (s - 1)^{n}

Las constantes de Stieltjes se definen por el siguiente límite

γ_{n} = \lim_{m \to \infty} [(\sum_{k = 1}^{m} \frac{\ln^{n} k}{k}) - \frac{\ln^{n + 1} m}{n + 1}]

(En el caso n = 0, el primer sumando requiere la evaluación de 0⁰, que se toma como 1.)

La fórmula integral de Cauchy nos da la siguiente representación integral:

γ_{n} = \frac{(- 1)^{n} n!}{2 π} \int_{0}^{2 π} e^{- n i x} ζ (e^{i x} + 1) d x .

Para el caso n = 0, se recupera la constante de Euler-Mascheroni $γ_{0} = γ = 0.577 . . .$ .

Una aproximación de las primeras constantes viene dada por la siguiente tabla:

Constantes de Stieltjes generalizadas

Más generalmente, se puede definir las constantes de Stieltjes $γ_{k} (q)$ asociadas a las expansiones en serie de Laurent de la función zeta de Hurwitz:

ζ (s, q) = \frac{1}{s - 1} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n!} γ_{n} (q) (s - 1)^{n}

Donde q es un número complejo con Re(q)>0. Como la función zeta de Hurwitz es un generalización de la función zeta de Riemann, tenemos que:

γ_{n} (1) = γ_{n}