Conjunto algebraico

En Geometría algebraica, un conjunto algebraico es el conjunto de ceros comunes a un conjunto de polinomios.

Esto es, si S={p₁, p₂, ..., p_t} es un conjunto de polinomios en n variables, el conjunto algebraico correspondiente a S, denotado por V(S) se define como Plantilla:Definición O de forma alterna, el conjunto de puntos tales que al ser sustituidos en cada uno de los polinomios se obtiene cero.

Cuando S consta de un solo elemento {p}, se suele escribir V(p) en vez de V({p}).

Ejemplos

Conjuntos algebraicos determinados por f(x,y)=x²-y², g(x,y)=x-y.

Consideremos, los polinomios Plantilla:Ecuación

El conjunto de ceros de f, esto es, los puntos que satisfacen f(x,y)=0 es Plantilla:Ecuación

Por otro lado, el conjunto de ceros de g es Plantilla:Ecuación

Ambos conjuntos son por tanto ejemplos de conjuntos algebraicos (definidos por solo un polinomio). Finalmente el conjunto algebraico definido por {f, g} es la intersección de V(f) con V(g), pues ésta contiene a los ceros comunes a ambos polinomios: Plantilla:Ecuación

Conjuntos algebraicos determinados por f(x,y)=x²-y², g(x,y)=x²+y²-4.

Por otro lado, si Plantilla:Ecuación entonces V(g) es el círculo con centro en el origen y radio 2. Para estos dos polinomios, Plantilla:Ecuación

Si bien los ejemplos considerados corresponden a polinomios en 2 variables reales, los conjuntos algebraicos se definen sobre cualquier campo F, de modo que si los polinomios tienen n variables, el conjunto algebraico correspondiente quedará formado por puntos en el espacio afín Fⁿ.