Polinomios de Bernoulli

En matemáticas, los polinomios de Bernoulli $B_{n} (x)$ se definen mediante la función generatriz:

\frac{t e^{x t}}{e^{t} - 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} B_{n} (x) \frac{t^{n}}{n!}

Aparecen en el estudio de numerosas funciones especiales, en particular de la función zeta de Riemann y de la función zeta de Hurwitz. Los números de Bernoulli $B_{n}$ son los términos independientes de los polinomios correspondientes, i.e., $B_{n} = B_{n} (0)$ .

La identidad $B_{p + 1} (x + 1) - B_{p + 1} (x) = (p + 1) x^{p}$ nos permite dar una forma cerrada de la suma

\sum_{m = 1}^{n} m^{p} = 1^{p} + 2^{p} + \dots + n^{p} = \frac{B_{p + 1} (n + 1) - B_{p + 1} (1)}{p + 1}

^[1]

Los polinomios de Bernoulli se pueden calcular a partir de la siguiente fórmula:

B_{p} (x) = \sum_{m = 0}^{p} (- 1)^{m} (\binom{p}{m}) B_{m} \cdot x^{p - m}

Expresión explícita de polinomios de menor grado

Los primeros Polinomios de Bernoulli son:

B_{0} (x) = 1

B_{1} (x) = x - \frac{1}{2}

B_{2} (x) = x^{2} - x + \frac{1}{6}

B_{3} (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x

B_{4} (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - \frac{1}{30}

B_{5} (x) = x^{5} - \frac{5}{2} x^{4} + \frac{5}{3} x^{3} - \frac{1}{6} x

B_{6} (x) = x^{6} - 3 x^{5} + \frac{5}{2} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{42}

.

B_{7} (x) = x^{7} - \frac{7}{2} x^{6} + \frac{7}{2} x^{5} - \frac{7}{6} x^{3} + \frac{1}{6} x

.

B_{8} (x) = x^{8} - 4 x^{7} + \frac{14}{3} x^{6} - \frac{7}{3} x^{4} + \frac{2}{3} x^{2} - \frac{1}{30}

.

B_{9} (x) = x^{9} - \frac{9}{2} x^{8} + 6 x^{7} - \frac{21}{5} x^{5} + 2 x^{3} - \frac{3}{10} x

.

En,^[2]^[3] se deduce y demuestra que los polinomios de Bernoulli se pueden obtener mediante la siguiente recurrencia integral

B_{m} (x) = m \int_{0}^{x} B_{m - 1} (t) d t - m \int_{0}^{1} \int_{0}^{t} B_{m - 1} (s) d s d t .

Sergio A. Carrillo; Miguel Hurtado. Appell and Sheffer sequences: on their characterizations through functionals and examples. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 359 (2021) no. 2, pp. 205-217. doi : 10.5802/crmath.172. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.172/
Hurtado Benavides, Miguel Ángel. (2020). De las sumas de potencias a las sucesiones de Appell y su caracterización a través de funcionales. [Tesis de maestría]. Universidad Sergio Arboleda. https://repository.usergioarboleda.edu.co/handle/11232/1743
Zwillinger, D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 2003. ISBN 1584882913.

↑ Plantilla:Cita web
↑ Hurtado Benavides, Miguel Ángel. (2020). De las sumas de potencias a las sucesiones de Appell y su caracterización a través de funcionales. [Tesis de maestría]. Universidad Sergio Arboleda. https://repository.usergioarboleda.edu.co/handle/11232/174
↑ Sergio A. Carrillo; Miguel Hurtado. Appell and Sheffer sequences: on their characterizations through functionals and examples. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 359 (2021) no. 2, pp. 205-217. doi : 10.5802/crmath.172. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.172/