Momento central

En estadística el momento central o centrado de orden $k$ de una variable aleatoria $X$ es la esperanza $\mathrm{E}[(X-E[X]{)}^k]$ donde $\mathrm{E}$ es el operador de la esperanza. Si una variable aleatoria no tiene media, el momento central es indefinido. También se puede definir como:

${\mu }_k=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X]{)}^k]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^{k}f(x)dx.$

Normalmente la letra griega para el momento central es μ. El primer momento central es cero y el segundo se llama varianza (σ²) donde σ es la desviación estándar. El tercer y cuarto momentos centrales sirven para definir los momentos estándar denominados de asimetría y de curtosis.

Las fórmulas de los momentos centrados y no centrados se pueden obtener a partir de la fórmula de la esperanza matemática. Si la desarrollamos, obtenemos que los momentos no centrados son:

Orden 0: $E[x^0]=1$

Orden 1: $E[x]=\frac{\sum _i{x}_i}{n}=m=\alpha$

Orden 2: $E[x^2]=\frac{\sum _i{x}_i^2}{n}={\alpha }_2$

Orden 3: $E[x^3]=\frac{\sum _i{x}_i^3}{n}={\alpha }_3$

Orden 4: $E[x^4]=\frac{\sum _i{x}_i^4}{n}={\alpha }_4$

Mientras que los centrados son:

Orden 0: $E[(x-m{)}^0]=1$

Orden 1: $E[(x-m)]=\alpha -\alpha =0$

Orden 2: $E[(x-m{)}^2]={\alpha }_2-{\alpha }^2={\sigma }^2={\mu }_2$

Orden 3: $E[(x-m{)}^3]={\alpha }_3-3\alpha {\alpha }_2+2{\alpha }^3={\mu }_3$

Orden 4: $E[(x-m{)}^4]={\alpha }_4-4\alpha {\alpha }_3+6{\alpha }^2{\alpha }_2-3{\alpha }^4={\mu }_4$

Enlaces externos

• [1] Simulación de la esperanza, varianza, momentos centrados y no centrados de una variable continua con R (lenguaje de programación).