Medida espectral

En matemáticas, en especial en análisis funcional una medida espectral es una aplicación cuyo dominio es una σ-álgebra y cuyos valores son proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert. Medidas espectrales se utilizan en la teoría espectral de operadores autoadjuntos.

Definición formal

Sean

• $(X,𝒜)$ un espacio medible, es decir $𝒜$ es una σ-álgebra de subconjuntos de $X$.
• $H$ un espacio de Hilbert.
• $\pi$ una aplicación de $𝒜$ al conjunto de proyecciones ortogonales de $H$.

$\pi$ es una medida espectral si y solamente si

• $\pi (X)={\mathrm{id}}_H$
• Si $\{E_i:i\in \mathbb{N}\}$ es una sucesión de elementos de $𝒜$ disjuntos entre sí, entonces las proyecciones $\{\pi (E_i):i\in \mathbb{N}\}$

son ortogonales entre sí y

$\pi (\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{E}_i)=\sum _{i\in \mathbb{N}}\pi (E_i)$

donde la convergencia en el sumatorio es en el sentido de la convergencia fuerte de operadores: O sea que para todo vector $x\in H$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^n\pi (E_k)x=\pi (\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{E}_i)x$

Referencias

• G. W. Mackey, The Theory of Unitary Group Representations, The University of Chicago Press, 1976
• V. S. Varadarajan, Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.