Constante de Copeland-Erdős

La constante de Copeland-Erdős es una constante formada por la concatenación de "0," y la sucesión ordenada de los números primos en base 10. Su valor es aproximadamente

0,235711131719232931374143… Plantilla:OEIS.

Esta constante es irracional. Por el Teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas, para cada m existen números primos de la forma

$k10^{m+1}+1.$

De esto se deduce que existen números primos cuya expresión decimal contiene al menos m ceros seguidos de un uno. Por tanto, la expresión decimal de la constante de Copeland-Erdős contiene secuencias arbitrariamente largas de ceros seguidos de un uno, y por tanto no puede terminar nunca y tampoco puede ser periódica. La conclusión es que la constante es irracional (Hardy y Wright, pág. 113).

Por un argumento similar, cualquier constante creada por la concatenación de "0," y todos los primos de una progresión aritmética $d\cdot n+a$, donde a es coprimo con d y 10, es irracional. Por ejemplo, la concatenación de los números primos de la forma $4n+1$ o $8n-1$. Por el teorema de Dirichlet, la progresión aritmética $d\cdot n\cdot 10^m+a$ contiene primos para todo m, y esos primos también están en $d\cdot n+a$, así que la concatenación de primos contiene secuencias arbitrariamente largas de ceros.

En base 10 la constante es un número normal, un hecho demostrado por Arthur Herbert Copeland y Paul Erdős en 1946 (de ahí el nombre de la constante).

La constante viene dada por esta fórmula:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}p(n)10^{-(n+\sum _{k=1}^n\lfloor {\log }_{10}p(k)\rfloor )}$

donde p(n) es el n-ésimo número primo.

Su expresión en fracción continua es [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …] (Plantilla:OEIS2).

Referencias

• Hardy G. H. y E. M. Wright (1938) An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, USA; 5ª edición (17 de abril de 1980). ISBN 0-19-853171-0.
• Plantilla:MathWorld

Véase también

• Números de Smarandache-Wellin: el valor truncado de esta constante multiplicada por la potencia de 10 apropiada.