Relación ternaria

Una relación ternaria R es el subconjunto de los elementos de $A_{1} \times A_{2} \times A_{3}$ que cumplen una determinada condición:

R = {(a_{1}, a_{2}, a_{3}) : (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \in A_{1} \times A_{2} \times A_{3} \land R (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = V e r d a d e r o}

Ejemplo

Dado el conjunto $ℕ$ de los números naturales, se define la relación ternaria $R (x, y, z)$ tal que $x + y = z$

R = {(x, y, z) : (x, y, z) \in ℕ \times ℕ \times ℕ \land x + y = z}

R = {(1, 1, 2), (1, 2, 3), (2, 1, 3), (2, 2, 4), \dots}

Una relación ternaria homogénea $R$ se llama así si para todo $x, y, z$ se cumple:^[1]

simétrica: $(x, y, z) \in R \Rightarrow (y, x, z) \in R$ .
simétrica (simétrica): $(x, y, z) \in R \Rightarrow (z, y, x) \in R$ .
simétrica: $(x, y, z) \in R \Rightarrow (x, z, y) \in R$ .
Completamente simétrica: $(x, y, z) \in R \Rightarrow (u, v, w) \in R$ , siendo $(u, v, w)$ $(x, y, z)$ .
asimétrica: $(x, y, z) \in R \Rightarrow (z, y, x) \notin R$ .
Completamente asimétrica: $(x, y, z) \in R \Rightarrow (u, v, w) \notin R$ , siendo $(u, v, w)$ $(x, y, z)$ .
Completamente reflexiva: $card {x, y, z} \leq 2 \Rightarrow (x, z, y) \in R$ .
Transitiva: $(x, y, z), (x, z, u) \in R \Rightarrow (x, y, u) \in R$ .
Cíclica: $(x, y, z) \in R \Rightarrow (z, x, y) \in R$ .
Completa: $x \neq y \neq z \neq x \Rightarrow \exists (u, v, w) \in R$ , siendo $(u, v, w)$ $(x, y, z)$ .