Constante de Cahen

En matemáticas, la constante de Cahen se define como una serie infinita de fracciones unitarias, con signos alternos, derivadas de la sucesión de Sylvester:

$C=\sum \frac{(-1{)}^i}{s_i-1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{42}+\frac{1}{1806}-\cdots \approx 0,64341054629$

Si se agrupan estas fracciones en pares, se puede considerar la constante de Cahen como una serie de fracciones unitarias positivas formadas a partir de los términos en los lugares pares de la sucesión de Sylvester. Esta serie es un ejemplo de algoritmo voraz para fracciones egipcias:

$C=\sum \frac{1}{s_{2i}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+\frac{1}{1807}+\frac{1}{10650056950807}+\cdots$

Esta constante recibe su nombre por Eugène Cahen (también conocido por la integral de Cahen-Mellin), quien fue el primero en formular e investigar su serie (Cahen 1891).

Se sabe que la constante de Cahen es trascendente (Davison and Shallit 1991), y es uno de los pocos números trascendentes construidos de forma natural cuya expansión en forma de fracción continua se conoce en su totalidad: si se forma la sucesión

1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ... (Plantilla:OEIS2)

definida por la recurrencia

$q_{n+2}=q_n^2{q}_{n+1}+q_n$

entonces la expansión en forma de fracción continua de la constante de Cahen es

$[0,1,q_0^2,q_1^2,q_2^2,\dots ]$

(Davison y Shallit 1991).

Referencias

• Plantilla:Cita publicación

• Plantilla:Cita publicación