Esfera de Strömgren

Plantilla:Referencias adicionales En astrofísica teórica, una esfera de Strömgren es una esfera de hidrógeno ionizado (H II) alrededor de una estrella caliente de la clase espectral O-B. Su contraparte en el mundo real son las regiones H II, un tipo de nebula de emisión, de la cual la más prominente es la nebulosa Roseta. Fue descubierto por Bengt Strömgren en 1937 y luego nombrada en su honor.

Fórmula

El radio de Stromgren es el radio característico de una región HII, producida por el equilibrio de fotorrecombinación, para calcularlo sabemos que

$4\pi J_{\nu }(r)=\pi I_{\nu }(r)=\pi I_{\nu }(R)\frac{R^2}{r^2}{e}^{-{\tau }_{\nu }}$

donde $\pi I_{\nu }(r)$ es el flujo de una fuente homogénea producida por un solo hemisferio (e.d. el flujo que se observa de la fuente, ignorando el flujo producido por la parte de "atrás" del emisor) a una distancia r, $I_{\nu }(R)$ es la energía producida a una distancia R, donde R es el Radio de la estrella y ${\tau }_{\nu }$ es la profundidad óptica del medio.

Si observamos bien, la ecuación anterior nos dice que el promedio en energía a una distancia r es igual a la energía producida en la superficie de la fuente, multiplicada por el factor de decaimiento del flujo ($R^2/r^2$) y multiplicada por la absorción del gas.

Sustituyendo en la ecuación de equilibrio

$N_{H^o}\underset{{\nu }_o}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }\frac{R^2}{r^2}{e}^{-{\tau }_{\nu }}{a}_{\nu }(H^o)d\nu =N_e{N}_p{\alpha }_A(H,T)$

desarrollando y tomando la aproximación on-spot (${\alpha }_B={\alpha }_A-{\alpha }_1$)

$N_{H^o}{R}^2\underset{{\nu }_o}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }{e}^{-{\tau }_{\nu }}{a}_{\nu }(H^o)d\nu =r^2{N}_e{N}_p{\alpha }_B(H,T)$

sabiendo que $\frac{d{\tau }_{\nu }}{dr}=N_{H^o}{a}_{\nu }(H^o)$ entonces $d(-e^{-{\tau }_{\nu }})=e^{-{\tau }_{nu}}d{\tau }_{\nu }=e^{-{\tau }_{nu}}{N}_{H^o}{a}_{\nu }(H^o)dr$ Si sustituimos

$R^2\underset{{\nu }_o}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }d(-e^{-{\tau }_{\nu }})d\nu =r^2{N}_e{N}_p{\alpha }_B(H,T)$

integrando sobre r

$R^2\underset{{\nu }_o}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d(-e^{-{\tau }_{\nu }})drd\nu =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{r}^2{N}_e{N}_p{\alpha }_B(H,T)dr$

$R^2\underset{{\nu }_o}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }d\nu (-e^{-{\tau }_{\nu }}{|}_0^{\mathrm{\infty }})=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{r}^2{N}_e{N}_p{\alpha }_B(H,T)dr$

Si suponemos que a una distancia $r_1$ todo se encuentra ionizado, entonces $N_e=N_p=N_H$ y después de esa region $Ne=0$ entonces $R^2\underset{{\nu }_o}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }d\nu =\underset{0}{\overset{r_1}{\int }}{N}_e{N}_p{\alpha }_B(H,T)dr+\underset{r_1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{N}_e{N}_p{\alpha }_B(H,T)dr$

$R^2\underset{{\nu }_o}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }d\nu =\underset{0}{\overset{r_1}{\int }}{N}_H^2{\alpha }_B(H,T)dr$

$R^2\underset{{\nu }_o}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }d\nu =\frac{r_1^3}{3}{N}_H^2{\alpha }_B(H,T)$

Como

$L_{\nu }=4\pi R^2\pi I_{\nu }(R)$

$\underset{{\nu }_o}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{L_{\nu }}{h\nu }d\nu =\frac{4\pi r_1^3}{3}{N}_H^2{\alpha }_B(H,T)$

sustituyendo $Q_{\nu }=\underset{{\nu }_o}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{L_{\nu }}{h\nu }d\nu$

llegamos $Q_{\nu }=\frac{4\pi r_1^3}{3}{N}_H^2{\alpha }_B(H,T)$

donde $r_1$ es el radio de Stromgren para una región solo de Hidrógeno.