Hipotenusa

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo, y resulta ser su lado de mayor longitud.

Según el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los otros dos lados del triángulo rectángulo, denominados catetos.

Etimología

Del lat. tardío hypotenūsa, y este del gr. ὑποτείνουσα hypoteínousa, t. f. del part. act. de ὑποτείνειν hypoteínein 'tender con firmeza'.

Relaciones métricas

• Establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Es decir, si a representa la longitud de la hipotenusa, b y c la de los catetos, es:

$a^2=b^2+c^2$

Por lo cual:

$a=\sqrt{b^2+c^2}$

En la figura, la hipotenusa es el lado a y los catetos son los lados b y c. La proyección ortogonal de b es m, y la de c es n.

Proyecciones ortogonales:

• La longitud de la hipotenusa es igual a la suma de las longitudes de las proyecciones ortogonales de ambos catetos.

$a=m+n$

• El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de la longitud de su proyección ortogonal sobre la hipotenusa por la longitud de ésta.

$b^2=m\cdot a$

$c^2=n\cdot a$

• El cuadrado de la longitud de la altura es igual al producto de las longitudes de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.

$h^2=m\cdot n$

Proposiciones

• En un triángulo inscrito la hipotenusa coincide con un diámetro tanto como segmento cuanto en longitud.

• El radio de una circunferencia circunscrita es igual a la mitad de la longitud del diámetro.

• En un triángulo rectángulo inscrito un radio coincide con la mediana que une la hipotenusa con el ángulo recto.

• De los triángulos rectángulos que tienen la misma hipotenusa y constante la suma de sus catetos, el que tiene mayor área es el triángulo rectángulo isósceles.

• Una de las diagonales de un rectángulo determina dos triángulos rectángulos iguales ( congruentes), siendo la diagonal, la hipotenusa común.

Razones trigonométricas

Mediante razones trigonométricas se puede obtener el valor de los dos ángulos agudos, $\alpha$y $\beta$, del triángulo rectángulo.

Conocida la longitud de la hipotenusa $c$y la de un cateto $b$, la razón entre ambos es:

$\frac{b}{c}=\mathrm{sen}(\beta )$

Por tanto, la función trigonométrica inversa es:

$\beta =\arcsin \left(\frac{b}{c}\right)$

Siendo $\beta$el valor del ángulo opuesto al cateto $b$.

El ángulo contiguo al cateto $b$será $\alpha$ = 90° – $\beta$

También se puede obtener el valor del ángulo $\beta$mediante la ecuación:

$\beta =\arccos \left(\frac{a}{c}\right)$

Siendo $a$el otro cateto.

Véase también

• Teorema de Pitágoras
• Cateto
• Círculo unitario