Lema de Borel-Cantelli

En la teoría de las probabilidades, medida e integración, el lema de Borel-Cantelli asegura la finitud en casi todos los puntos de la suma de funciones integrables positivas si es que la suma de sus integrales es finita.

Definición en probabilidad y demostración

1º Lema de Borel-Cantelli

Sea $\{A_n\}$ una sucesión de eventos tal que $\sum _{n\ge 1}P(A_n)<\mathrm{\infty }$ entonces $P(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n)=0$.

Demostración:

Tenemos que $P(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n)=$ $P(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\bigcup _{j\ge n}{A}_j)=$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(\bigcup _{j\ge n}{A}_j)\le$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sum _{j=n}^{\mathrm{\infty }}P(A_j)$ . Ya que $\sum _{n\ge 1}P(A_n)<\mathrm{\infty }$ implica que $\sum _{j=n}^{\mathrm{\infty }}P(A_j)⟶0,n⟶\mathrm{\infty }$.

2º Lema de Borel-Cantelli

Sea $\{A_n\}$ una sucesión de eventos tal que $\sum _{n\ge 1}P(A_n)=\mathrm{\infty }$ y $\{A_n\}$ son independientes, entonces $P(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n)=1$.

Demostración:

Tenemos que $P(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n)=$ $1-P(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{A}_n^c)=$ $1-P(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\bigcap _{j\ge n}{A}_j^c)=$ $1-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(\bigcap _{j\ge n}{A}_j^c)=$ $1-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(\bigcap _{j=n}^m{A}_j^c)=$ $1-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{j=n}^m(1-P(A_j))$, donde la última igualdad resulta de la independencia.

Basta ahora probar que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{j=n}^m(1-P(A_j))=0$.

Recordemos la desigualdad $1-x\le e^{-x},0<x<1$.

Por tanto, $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{j=n}^m(1-P(A_j))\le \underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{j=n}^m{e}^{-P(A_j)}=$ $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-\sum _{j=n}^{m}P(A_j)}=$ $e^{-\sum _{j=n}^{\mathrm{\infty }}P(A_j)}=0$.

Definición formal y demostración

Sea $\{f_n\}$ una sucesión de funciones positivas medibles desde el espacio de medida $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ en los reales. $\mu$ es la medida. Sea $\mu f$ la integral de f respecto de $\mu$. Supongamos que:

$\sum _n\mu f_n<\mathrm{\infty }$

entonces por convergencia monótona $\mu \sum _n{f}_n=\sum _n\mu f_n<\mathrm{\infty }$. Por ende la función $\sum _n{f}_n$ es finita c.t.p.-$\mu$.

Si la sucesión de funciones son indicatrices de conjuntos $A_n$ en $𝒜$, o sea $f_n={\chi }_{A_n}$ y la medida $\mathbb{P}$ es de probabilidad entonces: $\sum _n\mathbb{P}{A}_n<\mathrm{\infty }$ implica que $\sum _n{\chi }_{A_n}<\mathrm{\infty }$ c.t.p.-$\mu$, es decir, en $\mathrm{\Omega }$, el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos $A_n$ tiene probabilidad cero.

Resultado inverso

Un resultado relacionado, a veces llamado segundo lema de Borel-Cantelli, es casi lo inverso del primer lema. Para una medida $\mathbb{P}$ de probabilidad, dice así: dada una sucesión de conjuntos o sucesos independientes $A_n$ en $𝒜$, entonces $\sum _n\mathbb{P}{A}_n=\mathrm{\infty }$ implica que $\sum _n{\chi }_{A_n}=\mathrm{\infty }$ c.t.p.-$\mathbb{P}$, es decir, en $\mathrm{\Omega }$, el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos $A_n$ tiene probabilidad uno.

Bibliografía

• David Pollard, A user´s guide to measure theoretic probability, Cambridge University Press (2003).