Función zeta de Igusa

En matemáticas, una función zeta de Igusa es un tipo de función generadora, que cuenta el número de soluciones de una ecuación, módulo p, p², p³, y así sucesivamente

Definición

Para un número primo $p$ sea $K$ un cuerpo p-ádico, es decir $[K:{\mathbb{Q}}_p]<\mathrm{\infty }$, $R$ el anillo de valuación y $P$ el ideal máximo. Para $z\in K$ $\mathrm{ord}(z)$ expresa la valuación de $z$, $\mid z\mid =p^{-\mathrm{ord}(z)}$, y $ac(z)=z{\pi }^{-\mathrm{ord}(z)}$ para un parámetro uniformizante $\pi$ de $R$.

Sea $\varphi :K^n\mapsto ℂ$ una función Schwartz-Bruhat, es decir una función constante local con soporte compacto y sea $\chi$ un carácter de $K*$.

En este caso se asocia un polinomio no constante $f(x_1,\dots ,x_n)\in K[x_1,\dots ,x_n]$ a la función zeta de Igusa

$Z_{\varphi }(s,\chi )=\underset{K^n}{\int }\varphi (x_1,\dots ,x_n)\chi (ac(f(x_1,\dots ,x_n)))|f(x_1,\dots ,x_n){|}^{s}dx$

donde $s\in ℂ,\mathrm{Re}(s)>0,$ y $dx$ es una medida de Haar normalizada de forma tal que $R^n$ posee una medida unitaria.

Teorema de Igusa

Junichi Igusa demostró que $Z_{\varphi }(s,\chi )$ es una función racional en $t=q^{-s}$. La demostración utiliza el teorema de Heisuke Hironaka sobre la resolución de singularidades. Sin embargo, se sabe muy poco, en cuanto a fórmulas explícitas. (Existen algunos resultados sobre las funciones zeta de Igusa de variedades de Fermat.)

Congruencias módulo potencias de $p$

Por tanto, sea $\varphi$ la función característica de $R^n$ y $\chi$ el carácter trivial. Denótese por $N_i$ el número de soluciones de la congruencia

$f(x_1,\dots ,x_n)\equiv 0mod{p}^i$.

Entonces, la función zeta de Igusa

$Z(s)=\underset{R^n}{\int }|f(x_1,\dots ,x_n){|}^{s}dx$

está relacionada con la serie de Poincaré

$P(t)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{p}^{-in}{N}_i{t}^i$

por

$P(t)=\frac{1-tZ(s)}{1-t},t=p^{-s}.$

Referencias

• Este artículo posee información extraída de J. Denef, Report on Igusa's Local Zeta Function, Séminaire Bourbaki 43 (1990-1991), exp. 741; Astérisque 201-202-203 (1991), 359-386