Función zeta de Lerch

En matemáticas, la función zeta de Lerch, a veces llamada función zeta de Hurwitz-Lerch, es una función especial que generaliza la función zeta de Hurwitz y el polilogaritmo. Ha sido designada en honor a Mathias Lerch [1].

Definición

La función zeta de Lerch está expresada mediante

$L(\lambda ,\alpha ,s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\exp (2\pi i\lambda n)}{(n+\alpha {)}^s}.$

La función trascendente de Lerch, que se encuentra relacionada con la zeta de Lerch es la definida de la siguiente forma:

$\mathrm{\Phi }(z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{(n+\alpha {)}^s}.$

Las dos se encuentran relacionadas mediante la expresión

$\mathrm{\Phi }(\exp (2\pi i\lambda ),s,\alpha )=L(\lambda ,\alpha ,s).$

Representaciones integrales

Una representación integral está dada por la expresión

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}{e}^{-at}}{1-z{e}^{-t}}dt$

para

$\mathrm{\Re }(a)>0\wedge \mathrm{\Re }(s)>0\wedge z<1\vee \mathrm{\Re }(a)>0\wedge \mathrm{\Re }(s)>1\wedge z=1.$

Una representación tipo integral de contorno es

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=-\frac{\mathrm{\Gamma }(1-s)}{2\pi i}\underset{0}{\overset{(+\mathrm{\infty })}{\int }}\frac{(-t{)}^{s-1}{e}^{-at}}{1-z{e}^{-t}}dt$

para

$\mathrm{\Re }(a)>0\wedge \mathrm{\Re }(s)<0\wedge z<1$

donde el contorno no debe abarcar ningún punto tal que $t=\log (z)+2k\pi i,k\in Z.$

Una representación integral tipo Hermite es

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\frac{1}{2a^s}+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{z^t}{(a+t{)}^s}dt+\frac{2}{a^{s-1}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (s\arctan (t)-ta\log (z))}{(1+t^2{)}^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}dt$

para

$\mathrm{\Re }(a)>0\wedge |z|<1$

y

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)=\frac{1}{2a^s}+\frac{{\log }^{s-1}(1/z)}{z^a}\mathrm{\Gamma }(1-s,a\log (1/z))+\frac{2}{a^{s-1}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (s\arctan (t)-ta\log (z))}{(1+t^2{)}^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}dt$

para

$\mathrm{\Re }(a)>0.$

Referencias

• Plantilla:Obra citada.
• Plantilla:Obra citada.
• Plantilla:Obra citada.
• Plantilla:Obra citada. Includes various basic identities in the introduction.
• Plantilla:Obra citada.

Enlaces externos

• Plantilla:Obra citada.
• Ramunas Garunkstis, Home Page (2005) (Provides numerous references and preprints.)
• Ramunas Garunkstis, Approximation of the Lerch Zeta Function (PDF)
• S. Kanemitsu, Y. Tanigawa and H. Tsukada, Plantilla:Enlace roto, (undated, 2005 or earlier)