Teorema de Ostrowski

El teorema de Ostrowski, debido a Alexander Ostrowski, establece que cualquier valor absoluto no trivial sobre los números racionales Q es equivalente bien al valor absoluto real usual o a un valor absoluto p-ádico.

Dos valores absolutos | | y | |^* sobre un cuerpo C se dice que son equivalentes si existe un número real $\alpha >0$ tal que

$|x{|}^{*}=|x{|}^{\alpha }\text{ para todo }x\in C.$

Se define el valor absoluto trivial sobre cualquier cuerpo C como

$|x{|}_0=\{\begin{array}{cc}0,& \text{si }x=0\\ 1,& \text{si }x\ne 0.\end{array}$

El valor absoluto real sobre Q es el valor absoluto normal sobre los números reales, y se define como

$|x{|}_{\mathrm{\infty }}=\{\begin{array}{cc}x,& \text{si }x\ge 0\\ -x,& \text{si }x<0.\end{array}$

Para un número primo p, se define el valor absoluto p-ádico sobre Q como sigue: cualquier número racional x distinto de cero se puede expresar de forma única como $x=p^n\frac{a}{b}$, siendo a, b y p coprimos dos a dos y n entero (positivo, negativo o 0). Entonces

$|x{|}_p=\{\begin{array}{cc}0,& \text{si }x=0\\ p^{-n},& \text{si }x\ne 0.\end{array}$

Otros teoremas de Ostrowski

Otro teorema establece que un cuerpo arbitrario completo respecto del valor absoluto arquimediano es (algebraica y topológicamente) isomorfo a bien los números reales o bien los números complejos. Este teorema también se conoce como teorema de Ostrowski.

Véase también

• Valor absoluto

Referencias

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro