Funciones elípticas de Weierstraß

Símbolo de la función P de Weierstrass P.

En el ámbito de las matemáticas, las funciones elípticas de Weierstraß son un grupo de funciones elípticas que poseen una forma particularmente simple (cf. funciones elípticas de Jacobi); han sido designadas en honor al matemático Karl Weierstraß. Esta clase de funciones es también llamada funciones P y generalmente se las escribe utilizando el símbolo $\mathrm{\wp }$ (que corresponde a una letra P estilizada, llamada P de Weierstraß).

Definiciones

La función P de Weierstrass definida sobre una porción del plano complejo utilizando una técnica usual de visualización en la cual el blanco corresponde a un polo, negro a un cero, y la máxima saturación a $|f(z)|=|f(x+iy)|=1.$ Notar la retícula regular de los polos, y dos retículas que se entrecruzan de ceros.

Se puede definir a la función elíptica de Weierstraß de tres maneras muy similares, cada una de ellas posee ciertas ventajas. Una es como una función de variable compleja $z$ y una retícula $\mathrm{\Lambda }$ en el plano complejo. Otra es en término de $z$ y dos números complejos ${\omega }_1$ y ${\omega }_2$ que definen un par de generadores, o períodos, de la retícula. La tercera es en término de $z$ y de un módulo $\tau$ en el semiplano superior. Esta se relaciona con la definición previa mediante la siguiente expresión $\tau ={\omega }_2/{\omega }_1$, la cual en virtud de la convención usual de pares de períodos se encuentra en el semiplano superior. Utilizando este método, para un $z$ fijo las funciones de Weierstrass resultan ser funciones modulares de $\tau$.

Considerando los dos períodos, la función elíptica de Weierstraß es una función elíptica con períodos ${\omega }_1$ y ${\omega }_2$ definida como

$\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)=\frac{1}{z^2}+\sum _{m^2+n^2\ne 0}\{\frac{1}{(z-m{\omega }_1-n{\omega }_2{)}^2}-\frac{1}{{(m{\omega }_1+n{\omega }_2)}^2}\}.$

Entonces $\mathrm{\Lambda }=m{\omega }_1+n{\omega }_2$ son los puntos de la retícula de período, por lo que

$\mathrm{\wp }(z;\mathrm{\Lambda })=\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)$

para todo par de generadores de la retícula define la función de Weierstraß como una función de una variable compleja y una retícula.

Si $\tau$ es un número complejo en el semiplano superior, entonces

$\mathrm{\wp }(z;\tau )=\mathrm{\wp }(z;1,\tau )=\frac{1}{z^2}+\sum _{n^2+m^2\ne 0}\frac{1}{(z-n-m\tau {)}^2}-\frac{1}{(n+m\tau {)}^2}.$

La suma indicada previamente es homogénea con un grado menos dos, con lo cual se puede definir la función $\mathrm{\wp }$ de Weierstraß para todo par de períodos, como

$\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)=\mathrm{\wp }(z/{\omega }_1;{\omega }_2/{\omega }_1)/{\omega }_1^2.$

Bibliografía

• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
• K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
• Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis, Cambridge University Press, 1952, chapters 20 and 21
• Konrad Knopp, Funktionentheorie II (1947), Dover; Republished in English translation as Theory of Functions (1996), Dover ISBN 0-486-69219-1
• Abramowitz and Stegun, chapter 18

Enlaces externos

• Plantilla:Mathworld
• Funciones elípticas, página de análisis complejo de Hans Lundmark.