Doble producto vectorial

Doble producto vectorial de tres vectores a, b y c.

Llamamos doble producto vectorial (o también triple producto vectorial) de tres vectores a la expresión $𝐀\times (𝐁\times 𝐂)$   o  $(𝐀\times 𝐁)\times 𝐂$ ; esto es, el producto vectorial de dos vectores se multiplica vectorialmente por un tercer vector.

Para calcular el doble producto vectorial se utiliza la siguiente fórmula: Plantilla:Ecuación

demostrada más adelante.

Propiedades

Regla del cerdito para doble producto vectorial de tres vectores a, b y c.

• Según la fórmula, $𝐀\times (𝐁\times 𝐂)$ es un vector contenido en el plano definido por los vectores B y C.
• La interpretación geométrica del vector $\overrightarrow{p}=(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{a})\times \overrightarrow{u}$ es la proyección ortogonal del vector $\overrightarrow{a}$ sobre el plano cuyo vector normal es $\overrightarrow{u}$ .

• El producto vectorial no tiene la propiedad asociativa, ya que es antisimétrico (o anticonmutativo).

El vector Plantilla:Ecuación

está contenido en el plano definido por los vectores A y B, por lo que, en general, será

con lo cual resulta fundamental la colocación de los paréntesis.

• Identidad de Jacobi:

$𝐀\times (𝐁\times 𝐂)+𝐂\times (𝐀\times 𝐁)+𝐁\times (𝐂\times 𝐀)=0$

Cuand

Notación de Levi-Civita

Con la notación de Levi-Civita, el doble producto vectorial se expresa en la forma

Estas fórmulas son muy útiles a la hora de simplificar un vector en física. Por ejemplo, una igualdad relacionada con los gradientes, y muy útil en el cálculo de vectores es:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐟)& =\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐟)-(\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla })𝐟\\ & =\text{grad }(\text{div }𝐟)-\text{laplaciano }𝐟.\end{array}$

Esto también puede ser considerado como un caso especial del más conocido como operador de Laplace-deRham: Δ = dδ + δd.

Demostración

Gráfico tridimensional del doble producto vectorial A x (B x C)

Sea $𝐀\times (𝐁\times 𝐂)$ el doble producto vectorial buscado, se puede llegar a una expresión que esté en función de estos mismos vectores. Podemos notar en la figura que el vector resultante estará incluido en el plano que forman los vectores B y C, cualquiera sea la dirección de A. Entonces, se puede descomponer al vector $𝐀\times (𝐁\times 𝐂)$ en una componente paralela a B y otra paralela a C. Plantilla:Ecuación Para facilitar la demostración primero se supondrá $𝐁\mathrm{\perp }𝐂$; luego la fórmula se ampliará de forma general. Por ahora, efectuamos producto escalar por el vector B en Plantilla:Eqnref:

$𝐁\cdot [𝐀\times (𝐁\times 𝐂)]=𝐁\cdot (𝐁x+𝐂y)$

Aplicamos propiedad distributiva en el segundo miembro (recordemos que B.C = 0 por ser perpendiculares):

$𝐁\cdot (𝐁x+𝐂y)=𝐁\cdot 𝐁x+𝐁\cdot 𝐂y={\left|𝐁\right|}^{2}x$

El primer miembro es un producto mixto y, como tal, puede intercambiar sus factores de esta manera:

$𝐁\cdot [𝐀\times (𝐁\times 𝐂)]=𝐀\cdot [(𝐁\times 𝐂)\times 𝐁]$

Igualando las expresiones anteriores se tiene: Plantilla:Ecuación El producto $(𝐁\times 𝐂)\times 𝐁$ da como resultado un vector en la misma dirección y sentido que C (ver figura). Si averiguamos el módulo de este producto obtenemos:

$|(𝐁\times 𝐂)\times 𝐁|=|(𝐁\times 𝐂)|.\left|𝐁\right|.\mathrm{sen}\frac{\pi }{2}=\left|𝐁\right|.\left|𝐂\right|.\mathrm{sen}\frac{\pi }{2}.\left|𝐁\right|.1={\left|𝐁\right|}^2.\left|𝐂\right|$

Como $(𝐁\times 𝐂)\times 𝐁$ es de dirección y sentido iguales a C, se puede expresar de la siguiente manera:

$(𝐁\times 𝐂)\times 𝐁={\left|𝐁\right|}^2𝐂$

Identidad que, multiplicada escalarmente por el vector A, coincide con Plantilla:Eqnref.

$\therefore x=𝐀\cdot 𝐂$

Para averiguar y se sigue un proceso análogo, en el cual se efectúa en Plantilla:Eqnref el producto escalar por el vector C:

$𝐂\cdot [𝐀\times (𝐁\times 𝐂)]=𝐂\cdot (𝐁x+𝐂y)$

$𝐀\cdot [(𝐁\times 𝐂)\times 𝐂]={\left|𝐂\right|}^{2}y$

En este punto cabe destacar una diferencia importante, que se deduce de la imagen. Nótese que el vector $(𝐁\times 𝐂)\times 𝐂$ es opuesto a B. Esto implica:

$-𝐀\cdot 𝐁{\left|𝐂\right|}^2={\left|𝐂\right|}^{2}y\to y=-𝐀\cdot 𝐁$

Reemplazamos x e y en Plantilla:Eqnref y obtenemos la fórmula de doble producto vectorial para B y C perpendiculares. Plantilla:Ecuación

Fórmula general

Considerando ahora un vector B, ya no necesariamente perpendicular a C, se puede descomponerlo en dos componentes diferentes, una perpendicular y otra paralela a C.

$𝐁={𝐁}^{\prime }+𝐂k{𝐁}^{\prime }\mathrm{\perp }𝐂,k\in ℝ$

Se efectúa el doble producto vectorial y se lleva a la forma Plantilla:Eqnref:

$𝐀\times (𝐁\times 𝐂)=𝐀\times [({𝐁}^{\prime }+𝐂k)\times 𝐂]=𝐀\times ({𝐁}^{\prime }\times 𝐂+𝐂k\times 𝐂)=𝐀\times ({𝐁}^{\prime }\times 𝐂)$

De modo que se puede desarrollar de esta manera:

$𝐀\times ({𝐁}^{\prime }\times 𝐂)={𝐁}^{\prime }(𝐀\cdot 𝐂)-𝐂(𝐀\cdot {𝐁}^{\prime })$

Ahora, tenemos $𝐁={𝐁}^{\prime }+𝐂k\Rightarrow {𝐁}^{\prime }=𝐁-𝐂k$. Reemplazamos en la fórmula anterior y desarrollamos.

${𝐁}^{\prime }(𝐀\cdot 𝐂)-𝐂(𝐀\cdot {𝐁}^{\prime })=(𝐁-𝐂k)(𝐀\cdot 𝐂)-𝐂[𝐀\cdot (𝐁-𝐂k)]=$

$=𝐁(𝐀\cdot 𝐂)-𝐂k(𝐀\cdot 𝐂)-𝐂(𝐀\cdot 𝐁-𝐀\cdot 𝐂k)=𝐁(𝐀\cdot 𝐂)-𝐂k(𝐀\cdot 𝐂)-𝐂(𝐀\cdot 𝐁)+𝐂(𝐀\cdot 𝐂k)=$ $=𝐁(𝐀\cdot 𝐂)\cancel{-𝐂k(𝐀\cdot 𝐂)}-𝐂(𝐀\cdot 𝐁)\cancel{+𝐂k(𝐀\cdot 𝐂)}$

$\therefore 𝐀\times (𝐁\times 𝐂)=𝐁(𝐀\cdot 𝐂)-𝐂(𝐀\cdot 𝐁)$

Esta última identidad coincide con Plantilla:Eqnref y vale para cualquiera sean A, B y C.

Véase también

• Producto vectorial
• Producto escalar
• Producto mixto
• Símbolo de Levi-Civita

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld