Factorización de rango

Dada una matriz $A$, de dimensiones $m\times n$ y de rango $r$, una factorización de rango de $A$ es un factorización de la forma $A=CF$, donde $C$ es una matriz $m\times r$ y $F$ es una matriz $r\times n$.

Para construir una factorización de este tipo se puede calcular $B$, la forma escalonada reducida de $A$. Entonces $C$ se obtiene eliminando de $A$ todas las columnas que no son columnas pivote, y $F$ eliminando todas las filas de ceros de $B$.

metal

Demostración

Sea $P$ una matriz $n\times n$ de permutación tal que $AP=(C,D)$ en forma de bloques, donde las columnas de $C$ son las $r$ columnas pivote de $A$. Cada columna de $D$ es una combinación lineal de las columnas de $C$, luego hay una matriz $G$ tal que $D=CG$, donde las columnas de $G$ contienen los coeficientes de cada una de esas combinaciones lineales. Así pues, $AP=(C,CG)=C(I_r,G)$, siendo $I_r$ la matriz identidad $r\times r$. Mostraremos a continuación que $(I_r,G)=FP$.

Transformar $AP$ en su forma escalonada reducida equivale a multiplicar por la izquierda por una matriz $E$ que es un producto de matrices elementales, con lo que $EAP=BP=EC(I_r,G)$, donde $EC=\left(\begin{array}{c}{I}_r\\ 0\end{array}\right)$. Podemos entonces escribir $BP=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& G\\ 0& 0\end{array}\right)$, lo que nos permite identificar $(I_r,G)=FP$, es decir, las $r$ filas no nulas de la forma escalonada reducida, con la misma permutación de columnas que aplicamos a la matriz $A$. Tenemos, por tanto, que $AP=CFP$, y como $P$ es invertible, esto implica que $A=CF$, lo que completa la prueba.

Referencias

• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada