Entero libre de cuadrados

Los enteros libres de cuadrados hasta 120, que quedan tras eliminar los múltiplos de los cuadrados de los primos menores que √120.

Un número entero n es libre de cuadrados si no existe un número primo p tal que p² divide a n. Esto quiere decir que los factores primos de n son todos distintos, luego

$n=p_1{p}_2\cdots p_k=\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{i\in \{1,\cdots ,k\}}{p\text{ primo}}}{p}_i.$

De esta forma, 10=2·5 es libre de cuadrados, pero 20=2²·5 no lo es, porque es divisible por un cuadrado. Los primeros enteros libres de cuadrados son:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... Plantilla:OEIS

Alternativamente, si el número a al expresarlo como producto de factores primos, todos ellos tienen exponente 1, se dice que a es entero exento de cuadrados.

Función generadora de Dirichlet

Si q(n)=1, donde n es un entero que no contiene ningún cuadrado en su factorización y q(n)=0 donde n contiene uno o más cuadrados en su factorización, la función q(n) viene definida como $q(n)=|\mu (n)|$, siendo μ(n) la función de Möbius. Entonces, la función generadora de Dirichlet para los enteros libres de cuadrados es

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q(n)}{n^s}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|\mu (n)|}{n^s}=\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}$

donde ζ(s) es la función zeta de Riemann. Esto puede ser visto fácilmente del producto de Euler

$\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}=\prod _p\frac{(1-p^{-2s})}{(1-p^{-s})}=\prod _p(1+p^{-s}).$

Distribución de los números libres de cuadrados

Si Q(x) indica el número de números libres de cuadrados menores o iguales que x, entonces

$Q(x)=\frac{6x}{{\pi }^2}+O(\sqrt{x})$

(véase π).
La densidad de los números libres de cuadrados es, por tanto,

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{Q(x)}{x}=\frac{6}{{\pi }^2}$

Referencias

• Plantilla:Cita libro

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld