Integral exponencial

Gráfica de la función E₁ (arriba) y de la función Ei (parte inferior).

En el ámbito de las matemáticas la integral exponencial es una función especial definida en el plano complejo e identificada con el símbolo  Ei.

Definiciones

Para valores reales de $x$, la integral exponencial $Ei(x)$ se define como

$\text{Ei}(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t.$

Esta definición puede ser utilizada para valores positivos de $x$, pero a causa de la singularidad del integrando en cero, la integral debe ser interpretada en término del valor principal de Cauchy. Para valores complejos del argumento, esta definición es ambigua a causa de los puntos de ramificación en 0 y en $\mathrm{\infty }$. En general, se realiza un corte en el eje real negativo y Ei puede ser definida mediante una continuación analítica en el resto del plano complejo.

Se utiliza la siguiente notación,

${\mathrm{E}}_1(z)=\underset{z}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}}{t}\mathrm{d}t,|\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)|<\pi$

Para valores positivos de la parte real de $z$, esto se puede expresar como

${\mathrm{E}}_1(z)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-tz}}{t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)\ge 0.$

El comportamiento de E₁ cerca del branch cut puede ser analizado mediante la siguiente relación:

$\underset{\delta \to 0\pm }{\lim }{\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(-x+i\delta )=-\mathrm{E}\mathrm{i}(x)\mp i\pi ,x>0,$

Propiedades

Las propiedades de la exponencial integral mostradas, en ocasiones, permiten sortear la evaluación explícita de la función a partir de la definición dada arriba.

Series Convergentes

Tras integrar la serie de Taylor de $e^{-t}/t$, y extraer la singularidad logarítmica, se puede obtener la siguiente representación en forma de serie de ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(x)$ para $x$ real:

$\mathrm{E}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{kk!}x>0$

Para argumentos complejos fuera del eje real, esta serie se generaliza a

${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}{z}^k}{kk!}(|\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)|<\pi )$

donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni. La suma converge para todo $z$ complejo, y tomamos el valor usual del logaritmo complejo con el corte de rama a lo largo del eje real negativo.

Series Asintóticas

Error relativo de la aproximación asintótica para diferente número $N$ de términos de la suma truncada

Por desgracia, la convergencia de las series mostradas arriba es muy lenta para argumentos con gran módulo. Por ejemplo, para $x=10$, se necesitan más de 40 términos para obtener una respuesta correcta con 3 cifras significativas. Sin embargo, existe una serie asintótica divergente que puede ser obtenida a partir de la integración de $z{e}^z{\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(z)$ por partes:

${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(z)=\frac{\exp (-z)}{z}\sum _{n=0}^{N-1}\frac{n!}{(-z{)}^n}$

cuyo error es del orden $O(N!z^{-N})$ y es válida para grandes valores de $\mathrm{R}\mathrm{e}(z)$. El error relativo de la serie asintótica se muestra en la gráfica de la derecha para varios valores de $N$ ($N=1$ en rojo, $N=5$ en rosa). Cuando $x>40$, la aproximación dada con $N=40$ es exacta en representación de doble precisión, de 64 bits.

Comportamiento exponencial y logarítmico: Cotas

Acotamiento de ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}$ por funciones elementales

De las series dadas arriba, se deduce que ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}$ se comporta como una exponencial negativa para grandes valores del argumento y como un logaritmo para pequeños valores del mismo. Para valores reales positivos del argumento, ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}$ queda acotada superior e inferiormente por funciones elementales como sigue:

$\frac{1}{2}{e}^{-x}\ln (1+\frac{2}{x})<{\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(x)<e^{-x}\ln (1+\frac{1}{x})x>0$

La parte izquierda de la desigualdad se muestra en la gráfica de la izquierda en azul, la parte central, que es ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(x)$, es la curva negra y la parte de la derecha es la curva roja.

Definición mediante $\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}$

Las funciones $\mathrm{E}\mathrm{i}$ y ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}$ pueden ser escritas de forma más simple mediante la función entera $\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}$ definida como

$\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}(z)=\underset{0}{\overset{z}{\int }}(1-e^{-t})\frac{\mathrm{d}t}{t}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}{z}^k}{kk!}$

(nótese que esta es la serie alternante que aparecía en la definición de ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}$). Se sigue inmediatamente que:

${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(z)=-\gamma -\ln z+\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}(z)|\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)|<\pi$

$\mathrm{E}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}(-x)x>0$

Relación con otras funciones

La integral exponencial está altamente relacionada con la función logaritmo integral $li(x)$ por la siguiente relación

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\mathrm{E}\mathrm{i}(\ln x)$

para valores positivos reales de $x$.

La integral exponencial se puede generalizar a

${\mathrm{E}}_n(x)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-xt}}{t^n}\mathrm{d}t,$

que es una familia de funciones que puede representarse como un caso especial de la función gamma incompleta:

${\mathrm{E}}_n(x)=x^{n-1}\mathrm{\Gamma }(1-n,x).$

Esta forma generizada se llama a veces función de Misra function ${\phi }_m(x)$, que se define como

${\phi }_m(x)={\mathrm{E}}_{-m}(x).$

Derivadas

Las derivadas de las funciones ${\mathrm{E}}_{\mathrm{n}}$ pueden ser obtenerse mediante el uso de la fórmula

${{\mathrm{E}}_{\mathrm{n}}}^{\prime }(z)=-{\mathrm{E}}_{\mathrm{n}\mathrm{-}\mathrm{1}}(z)(n=1,2,3,\dots )$

Nótese que la función ${\mathrm{E}}_{\mathrm{0}}$ es sencilla de evaluar (dando un término inicial a la relación recursiva), pues es $e^{-z}/z$.

Integral exponencial de argumento imaginario

${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(ix)$ respecto a $x$; parte real en negro, parte imaginaria en rojo.

Si $z$ es imaginario, la función tiene una parte real no nula, así podemos usar la fórmula

${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(z)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-tz}}{t}\mathrm{d}t$

para obtener una relación de la exponencial integral con las integrales trigonométricas $\mathrm{S}\mathrm{i}$ y $\mathrm{C}\mathrm{i}$:

${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(ix)=i(-\frac{\pi }{2}+\mathrm{S}\mathrm{i}(x))-\mathrm{C}\mathrm{i}(x)(x>0)$

Las partes real e imaginaria de ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(x)$ están dibujadas en la gráfica de la derecha en negro y rojo respectivamente.

Aplicaciones

• Transmisión de calor con dependencia temporal
• Flujo de aguas subterráneas fuera del equilibrio en la solución de Theis
• Transferencia radiativa en atmósferas estelares
• Ecuación de difusividad radial para flujos transitorios o de flujo no estacionario entre fuentes y sumideros con forma de línea recta.

Véase también

• Logaritmo integral
• Seno integral
• Coseno integral
• Constante de Gompertz

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita publicación
• Plantilla:Cita libro contiene códigos para calcular $\mathrm{E}\mathrm{i}$ y ${\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}$, a partir de p.222.

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
• Plantilla:MathWorld
• Formulas and identities for Ei