Determinantes de Cayley-Menger

La figura cuyos vértices son $n$ puntos de coordenadas $(x_1^1,\cdots ,x_n^1),\cdots ,(x_1^n,\cdots ,x_n^n)$ se llama ($n$-1)-símplex. El 2-símplex es el triángulo y el 3-símplex es el tetraedro. Hay una fórmula que da el volumen del $n$-símplex en términos de las longitudes de sus lados. La parte principal de dicha fórmula es el determinante de Cayley-Menger, así llamado por Blumenthal en 1953 en honor a Arthur Cayley y Karl Menger. Si denotamos por $d(AB)$ la distancia entre los vértices $A$ y $B$, etc.., entonces los determinantes de Cayley-Menger para 2, 3 y 4 dimensiones son, respectivamente,

$\det \left[\begin{array}{cccc}0& d(AB{)}^2& d(AC{)}^2& 1\\ d(AB{)}^2& 0& d(BC{)}^2& 1\\ d(AC{)}^2& d(BC{)}^2& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right],$

$\det \left[\begin{array}{ccccc}0& d(AB{)}^2& d(AC{)}^2& d(AD{)}^2& 1\\ d(AB{)}^2& 0& d(BC{)}^2& d(BD{)}^2& 1\\ d(AC{)}^2& d(BC{)}^2& 0& d(CD{)}^2& 1\\ d(AD{)}^2& d(BD{)}^2& d(CD{)}^2& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0\end{array}\right],$

$\det \left[\begin{array}{cccccc}0& d(AB{)}^2& d(AC{)}^2& d(AD{)}^2& d(AE{)}^2& 1\\ d(AB{)}^2& 0& d(BC{)}^2& d(BD{)}^2& d(BE{)}^2& 1\\ d(AC{)}^2& d(BC{)}^2& 0& d(CD{)}^2& d(CE{)}^2& 1\\ d(AD{)}^2& d(BD{)}^2& d(CD{)}^2& 0& d(DE{)}^2& 1\\ d(AE{)}^2& d(BE{)}^2& d(CE{)}^2& d(DE{)}^2& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1& 0\end{array}\right].$

La forma de los determinantes en más dimensiones sigue este patrón. Si denotamos con $CM$ al determinante de Cayley-Menger, entonces el $n$-volumen del $n$-símplex es

$\sqrt{\frac{(-1{)}^{n+1}}{2^n(n!{)}^2}CM}.$

Una fórmula parecida para el caso bidimensional fue descubierta por Herón. El caso tridimensional lo descubrió Tartaglia.

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld