Condición de frontera de Neumann

En matemáticas, la condición de frontera de Neumann (o de segundo tipo) es un tipo de condición de frontera o contorno, llamada así en alusión a Carl Neumann. Se presenta cuando a una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas parciales, se le especifican los valores de la derivada de una solución tomada sobre la frontera o contorno del dominio.

Ejemplos

Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)

En el caso de una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo, puede ser:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+3y=1$

sobre el intervalo [0,1] las condiciones de frontera de Neumann toman la forma:

$\{\begin{array}{c}\frac{dy}{dx}(0)={\alpha }_1\\ \frac{dy}{dx}(1)={\alpha }_2\end{array}$

donde ${\alpha }_1$ y ${\alpha }_2$ son números dados.

Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP)

Para una ecuación diferencial en derivadas parciales sobre un dominio $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ tal como:

${\mathrm{\nabla }}^{2}y=0$

donde ${\mathrm{\nabla }}^2$ es el laplaciano, la condición de frontera de Neumann toma la forma:

$\frac{\partial y}{\partial 𝐧}(x)=f(x)\mathrm{\forall }x\in \partial \mathrm{\Omega }.$

Aquí $𝐧$ es la normal a la frontera $\partial \mathrm{\Omega }$ y $f$ es una función escalar.

La derivada normal $\frac{\partial }{\partial 𝐧}$ se define como:

$\frac{\partial y}{\partial 𝐧}(x)=\mathrm{\nabla }y(x)\cdot 𝐧(x)$

donde $\mathrm{\nabla }$ es el gradiente (vector) y el punto es el producto interno con el vector normal unitario n.

Véase también

• Condición de frontera de Dirichlet
• Condición de frontera mixta
• Condición de frontera de Cauchy
• Condición de frontera de Robin