Hipótesis de Lindelöf

En matemática, la hipótesis de Lindelöf es una conjetura formulada por el matemático finés Ernst Leonard Lindelöf (véase Plantilla:Harvtxt) sobre la tasa de crecimiento de la función zeta de Riemann en la línea crítica y que está implicada por la hipótesis de Riemann.

Esta postula que, para cualquier ε > 0,

$\zeta (\frac{1}{2}+it)\text{ es }𝒪(t^{\epsilon }),$

cuando t tiende a infinito (véase notación de Landau). Puesto que ε puede ser reemplazado por un valor menor, esta conjetura también puede postularse como:

Para cualquier número real positivo ε,

$\zeta (\frac{1}{2}+it)\text{ es }o(t^{\epsilon }).$

La función μ

Si σ es real, entonces μ(σ) se define como el ínfimo de todos los números reales a tales que ζ(σ + iT) = O(T ^a). Es trivial el observar que μ(σ) = 0 para σ > 1, y la ecuación funcional de la función zeta implica que μ(1 − σ) = μ(σ) − σ + 1/2. El teorema de Phragmen–Lindelöf implica también que μ es convexa. La hipótesis de Lindelöf asegura que μ(1/2) = 0, lo que junto con las propiedades citadas antes de μ implican que μ(σ) es 0 para σ ≥ 1/2 y 1/2 − σ para σ ≤ 1/2.

El resultado de convexidad de Lindelöf junto con μ(1) = 0 y μ(0) = 1/2 implican que 0 ≤ μ(1/2) ≤ 1/4. El límite superior de 1/4 fue rebajado por Hardy y Littlewood a 1/6 mediante la aplicación del método de Weyl de estimación de sumas exponenciales para la ecuación funcional aproximada de la función zeta. Desde entonces, este límite ha sido rebajado significativamente a una cantidad menor que 1/6 por varios autores, usando largas y complejas demostraciones, como indica la siguiente tabla:

μ(1/2) ≤	μ(1/2) ≤	Autor
1/4	0.25	Plantilla:Harvtxt	Límite de convexidad
1/6	0.1667	Plantilla:Harvtxt
163/988	0.1650	Plantilla:Harvtxt
27/164	0.1647	Plantilla:Harvtxt
229/1392	0.164512	Plantilla:Harvtxt
	0.164511	Plantilla:Harvtxt
19/116	0.1638	Plantilla:Harvtxt
15/92	.1631	Plantilla:Harvtxt
6/37	.16217	Plantilla:Harvtxt
173/1067	0.16214	Plantilla:Harvtxt
35/216	0.16204	Plantilla:Harvtxt
139/858	0.16201	Plantilla:Harvtxt
32/205	0.1561	Plantilla:Harvtxt,2005

Relación con la hipótesis de Riemann

Plantilla:Harvtxt mostró que la hipótesis de Lindelöf es equivalente al siguiente enunciado sobre los ceros de la función zeta:

Para cada ε > 0, el número de ceros con parte real al menos 1/2 + ε y la parte imaginaria T y T + 1 es o(log(T)) cuando T tiende a infinito. La hipótesis de Riemann implica que no hay ningún cero en esa región, así pues implica a la hipótesis de Lindelöf. Se sabe que el número de ceros con parte imaginaria T y T + 1 es O(log(T)), así que la hipótesis de Lindelöf parece sólo un poco más fuerte que lo que ya ha sido demostrado, pero a pesar de ello, sigue resistiendo a todos los intentos de demostración, siendo éstos ya muy complicados.

Media de las potencias de la función zeta

La hipótesis de Lindelöf es equivalente a la afirmación de que

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}|\zeta (1/2+it){|}^{2k}dt=O(T^{1+\epsilon })$

para todos los enteros positivos k y para todos los números reales positivos ε. Esta afirmación ha sido demostrada para k = 1 o 2, pero el caso k = 3 parece ser más complejo y todavía se encuentra como un problema abierto.

Hay una más precisa conjetura acerca del comportamiento asintótico de esta integral: Se cree que

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}|\zeta (1/2+it){|}^{2k}dt=T\sum _{j=0}^{k^2}{c}_{k,j}\log (T{)}^{k^2-j}+o(T)$

para algunas constantes c_k,j. Esto fue demostrado por John Edensor Littlewood para k = 1 y por Plantilla:Harvtxt para k = 2 (extendiendo un resultado de Plantilla:Harvtxt el cual encontró el término principal).

Plantilla:Harvtxt sugirió el valor $(42/9!)\prod _p((1-p^{-1}{)}^4(1+4p^{-1}+p^{-2}))$ para el coeficiente principal cuando k es 6, y Plantilla:Harvtxt usaron teoría de matrices aleatorias para sugerir algunas conjeturas sobre los valores de los coeficientes para valores de k mayores. Los coeficientes principales ha sido conjeturados para ser el producto de un factor elemental, un cierto producto sobre números primos, y el número de n por n en tabla de Young dado por la siguiente secuencia:

• 1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, Plantilla:OEIS.

Otras consecuencias

Denotando como p_n el n-ésimo número primo, un resultado dado por Albert Ingham, muestra que la hipótesis de Lindelöf implica que, para cualquier ε > 0,

$p_{n+1}-p_n\ll p_n^{1/2+\epsilon }$

si n es lo suficientemente grande. Sin embargo, este resultado es mucho peor que la amplia conjetura del espacio entre primos consecutivos.

Referencias

• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Cita web