Subespacios fundamentales de una matriz

Sea $A\in {ℳ}_{m\times n}(K)$, $K$ un cuerpo, una matriz con coeficientes $a_{ij}\in K$. Se define el espacio columna, el espacio fila y el espacio nulo de $A$, respectivamente, como

1. $\mathrm{Col}(A):=⟨(a_{11},\dots ,a_{m1}),\dots ,(a_{1n},\dots ,a_{mn})⟩\subseteq K^m$;
2. $\mathrm{Fil}(A):=⟨(a_{11},\dots ,a_{1n}),\dots ,(a_{m1},\dots ,a_{mn})⟩\subseteq K^n$;
3. $\mathrm{Nul}(A):=\{x\in K^n:Ax=0\}$;

donde $0$ denota el vector nulo del espacio vectorial $K^m$.

Ejemplos

1. Sea $A:=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 1& 1& -2\\ -2& 1& 1\end{array}\right)$. Entonces:
   $\mathrm{Col}(A)=⟨(-1,1,-2),(1,1,1),(0,-2,1)⟩=⟨(-1,1,-2),(1,1,1)⟩$;
   $\mathrm{Fil}(A)=⟨(-1,1,0),(1,1,-2),(-2,1,1)⟩=⟨(-1,1,0),(1,1,-2)⟩$;
   $\mathrm{Nul}(A)=⟨(1,1,1)⟩$.
   La matriz no tiene por qué ser cuadrada; veamos otro ejemplo:
2. Sea $B:=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 3& -6\\ -2& 4\end{array}\right)$. Entonces:
   $\mathrm{Col}(B)=⟨(-1,3,-2),(2,-6,4)⟩=⟨(-1,3,-2)⟩$;
   $\mathrm{Fil}(B)=⟨(-1,2),(3,-6),(-2,4)⟩=⟨(-1,2)⟩$;
   $\mathrm{Nul}(B)=⟨(2,1)⟩$.

Propiedades

Para las relaciones de ortogonalidades entre conjuntos, siempre se considera el producto escalar estándar de $K^m$ o $K^n$:

• $\mathrm{Col}(A^T)=\mathrm{Fil}(A)$

• $\mathrm{Fil}(A^T)=\mathrm{Col}(A)$

• $\mathrm{Nul}(A)\perp \mathrm{Fil}(A)$

• $\mathrm{Col}(A)\perp \mathrm{Nul}(A^T)$

• $\dim (\mathrm{Col}(A))=\dim (\mathrm{Col}(A^T))=\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^T)$.

• Si $A=(a_{ij})\in {ℳ}_{n\times n}(K)$ y además las columnas de $A$, $\{(a_{11},\dots ,a_{n1}),\dots ,(a_{1n},\dots ,a_{nn})\}$, forman un conjunto linealmente independiente de $K^n$, entonces $\det (A)\ne 0$, o sea, la matriz es invertible.

• Si $A=(a_{ij})\in {ℳ}_{n\times n}(K)$ y además $\mathrm{Nul}(A)\ne \{0\}$, entonces $\det (A)=0$, o sea, la matriz no es invertible.

• $\dim (\mathrm{Col}(A))+\dim (\mathrm{Nul}(A))=n$.

• Sean $A\in {ℳ}_{n\times m}(K)$ y $B\in {ℳ}_{p\times n}(K)$. Si $x\in \mathrm{Col}(BA)$, entonces existe $y\in K^m$ tal que $BAy=x$. Si tomamos $w=Ay$, entonces $Bw=x$, así que $x\in \mathrm{Col}(B)$. Por lo tanto, $\mathrm{Col}(BA)\subseteq \mathrm{Col}(B)$. Además $\mathrm{Col}(BA)=\mathrm{Col}(B)$ si y solo si $\mathrm{rg}(A)=n$.

• Sean $A\in {ℳ}_{n\times m}(K)$ y $B\in {ℳ}_{p\times n}(K)$ —en particular, $BA\in {ℳ}_{p\times m}(K)$—. Entonces si $Ax=0$, también se tiene que $BAx=0$. Así, $\mathrm{Nul}(A)\subseteq \mathrm{Nul}(BA)$, y ocurre que $\mathrm{Nul}(A)=\mathrm{Nul}(BA)$ si y solo si $\mathrm{rg}(B)=n$.

• Supongamos que $K=ℝ$ y sea $A\in {ℳ}_{m\times n}(ℝ)$. Veamos que $\mathrm{Nul}(A)=\mathrm{Nul}(A^{T}A)$. Sea $x\in \mathrm{Nul}(A)$, entonces $Ax=0$, por lo que $A^{T}Ax=0$. Por otro lado, si $x\in \mathrm{Nul}(A^{T}A)$, tenemos que $A^{T}Ax=0$, por lo tanto $x^T{A}^{T}Ax=0$. Como $x^T{A}^{T}Ax=(Ax{)}^{T}Ax=⟨Ax,Ax⟩$, donde $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ denota el producto escalar estándar de ${ℝ}^m$, necesariamente $Ax=0$, luego, $x\in \mathrm{Nul}(A)$.

Enlaces externos

1. Matriz
2. Determinante de una matriz
3. Producto escalar estándar