Prueba de Shapiro-Wilk

En estadística, la prueba de Shapiro-Wilk se usa para contrastar la normalidad de un conjunto de datos. Se plantea como hipótesis nula que una muestra $x_1,\dots ,x_n$ proviene de una población normalmente distribuida. Fue publicado en 1965 por Samuel Shapiro y Martin Wilk. Se considera una de las pruebas más potentes para el contraste de normalidad.

El estadístico de la prueba es:

$W=\frac{{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_{(i)}\right)}^2}{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$

donde

• $x_{(i)}$ (con el subíndice $i$ entre paréntesis) es el número que ocupa la $i$-ésima posición en la muestra (con la muestra ordenada de menor a mayor);
• $\overline{x}=\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}$ es la media muestral;
• las variables $a_i$ se calculan

$(a_1,\dots ,a_n)=\frac{m^{\mathrm{\top }}{V}^{-1}}{(m^{\mathrm{\top }}{V}^{-1}{V}^{-1}m{)}^{1/2}}$

donde

$m=(m_1,\dots ,m_n{)}^{\mathrm{\top }}$

siendo $m_1,\dots ,m_n$ los valores medios del estadístico ordenado, de variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas, muestreadas de distribuciones normales y $V$ denota la matriz de covarianzas de ese estadístico de orden.

La hipótesis nula se rechazará si $W$ es demasiado pequeño. El valor de $W$ puede oscilar entre 0 y 1.

Interpretación: Siendo la hipótesis nula que la población está distribuida normalmente, si el p-valor es menor a alfa (nivel de significancia) entonces la hipótesis nula es rechazada (se concluye que los datos no vienen de una distribución normal). Si el p-valor es mayor a alfa, se concluye que no se puede rechazar dicha hipótesis.

La normalidad se verifica confrontando dos estimadores alternativos de la varianza σ²:

• un estimador no paramétrico al numerador, y
• un estimador paramétrico (varianza muestral), al denominador.

Véase también

• Prueba de Anderson-Darling
• Prueba de Kolmogórov-Smirnov
• Gráfico de probabilidad normal
• Gráfico P-P
• Gráfico Q-Q

Enlaces externos

• Algorithm AS R94 (Shapiro Wilk) FORTRAN code
• Shapiro–Wilk Normality Test in CRAN
• Shapiro–Wilk Normality Test in QtiPlot
• How do I interpret the Shapiro-Wilk test for normality?
• Versión en línea de la prueba de Shapiro-Wilk