Distribución multinomial

En teoría de probabilidad, la distribución multinomial o distribución multinómica es una generalización de la distribución binomial.

La distribución binomial es la probabilidad de un número de éxitos en N sucesos de Bernoulli independientes, con la misma probabilidad de éxito en cada suceso. En una distribución multinomial, el análogo a la distribución de Bernoulli es la distribución categórica, donde cada suceso concluye en únicamente un resultado de un número finito K de los posibles, con probabilidades $p_1,\dots ,p_k$ (tal que $p_i\ge 0$ para i entre 1 y K y $\sum _{i=1}^k{p}_i=1$); y con n sucesos independientes.

Entonces sea la variable aleatoria $X_i$, que indica el número de veces que se ha dado el resultado i sobre los n sucesos. El vector $X=(X_1,...,X_k)$ sigue una distribución multinomial con parámetros n y p, donde $p=(p_1,...,p_k)$.

Nótese que en algunos campos las distribuciones categórica y multinomial se encuentran unidas, y es común hablar de una distribución multinomial cuando el término más preciso sería una distribución categórica.

Especificación

Dado de 6 caras

Función de probabilidad

La función de probabilidad de la distribución multinomial es como sigue:

$\begin{array}{cc}f(x_1,\dots ,x_k;n,p_1,\dots ,p_k)& =\mathrm{Pr}(X_1=x_1\text{ y }\dots \text{ y }{X}_k=x_k)\\ \\ & =\{\begin{array}{cc}\frac{n!}{x_1!\cdots x_k!}{p}_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k},& \text{cuando }\sum _{i=1}^k{x}_i=n\\ \\ 0& \text{En otros casos,}\end{array}\end{array}$

Para enteros no negativos x₁, ..., x_k.

Propiedades

La esperanza matemática del suceso i observado en n pruebas es:

$\mathrm{E}(X_i)=n{p}_i.$

La varianza es:

$\mathrm{var}(X_i)=n{p}_i(1-p_i).$