Aritmética ordinal

En teoría de conjuntos, la aritmética ordinal describe tres operaciones de la aritmética —suma, multiplicación y exponenciación— aplicadas a los números ordinales. Cada operación puede definirse bien por recursión transfinita, bien definiendo los conjuntos bien ordenados que las representan.

Suma

En la suma de dos ordinales Plantilla:Math y Plantilla:Math, se considera el conjunto dado por la totalidad de los elementos de ambos, ordenado de forma que todos los elementos de Plantilla:Math son mayores que todos los elementos de Plantilla:Math. Este conjunto está bien ordenado, y su ordinal correspondiente es Plantilla:Math. De manera más técnica: Plantilla:Definición donde se considera el orden dado por Plantilla:Ecuación Esta definición es compatible con la definición por recursión transfinita: Plantilla:Teorema

Esta suma ordinal es asociativa y con elemento neutro (Plantilla:Math), pero no es conmutativa. Por ejemplo Plantilla:Math.

Producto

Representación visual de Plantilla:Math, «omega copias de omega». Cada línea vertical es un ordinal de la forma Plantilla:Math, es decir, el elemento n-ésimo de la «copia» m-ésima de Plantilla:Math.

De igual modo, para el producto de dos ordinales Plantilla:Math y Plantilla:Math, se considera una copia de Plantilla:Math por cada elemento de Plantilla:Math, donde dentro de cada copia se respeta el orden de Plantilla:Math, y elementos de distintas copias se ordenan por su «índice» en Plantilla:Math. De manera más técnica: Plantilla:Definición donde en Plantilla:Math se considera el orden dado por: Plantilla:Ecuación De nuevo, esta definición es compatible con la definición por recursión transfinita: Plantilla:Teorema

El producto de ordinales es asociativo, con elemento neutro (Plantilla:Math) y elemento absorbente (Plantilla:Math), pero de nuevo no es conmutativa: Plantilla:Math.

Exponenciación

La exponenciación de números ordinales se define de manera sencilla mediante recursión transfinita: Plantilla:Definición Esta definición es equivalente a otra en términos de conjuntos bien ordenables: Plantilla:Teorema

La exponenciación ordinal verifica varias de las propiedades de la exponeciación ordinaria:

${\alpha }^{\beta }\cdot {\alpha }^{\gamma }={\alpha }^{\beta +\gamma }\text{ , }{\alpha }^{\beta \cdot \gamma }=({\alpha }^{\beta }{)}^{\gamma }\text{ , }{1}^{\alpha }=1\text{ , }{\alpha }^1=\alpha$

La exponenciación ordinal es muy diferente a la cardinal. Por ejemplo, Plantilla:Math es numerable (a diferencia de Plantilla:Math).

Referencias

• Plantilla:Obra citada.
• Plantilla:Cita libro